De gemiddelde functiewaarde

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Ok laten we simpel beginnen.....

Als je van een aantal dingen het gemiddelde moet nemen dan tel je ze allemaal op en deel je door hoeveel het er zijn.
Bijvoorbeeld:  het gemiddelde van de getallen 3, 4, 6, 6, en 10 is  (3 + 4 + 6 + 6 + 10)/5 = 29/5 = 5,8

Laten we die berekening in een grafiek zetten.....
Hieronder zie je in de linkerfiguur de getallen 3, 4, 6, 6, 10 in een grafiek. Op de x-as staat het nummer van het getal.

Het gaat dus om de gemiddelde lengte van die stokjes in de middelste grafiek hieronder. Je moet dus de lengtes van die stokjes optellen en door 5 delen.

In de rechterfiguur is er een histogram van gemaakt.
Maar.... omdat op de x-as het nummer van het getal staat, is de breedte van al die staafjes 1.
Dat betekent dat de oppervlakte van de alle staafjes samen precies gelijk is aan de lengtes ervan opgeteld (alle breedtes zijn 1)
       

       
Verder is 5 (het aantal staafjes) precies gelijk aan de breedte van de figuur rechts.
Dus om het gemiddelde uit te rekenen deel je de totale oppervlakte daar rechts door de totale breedte.
 
Wacht... Dat is belangrijk genoeg voor een kader:
       

gemiddelde hoogte = totale oppervlakte/totale breedte

       
Smallere staafjes.      
       
Als je de staafjes hierboven smaller maakt, bijvoorbeeld 1/2 in plaats van 1, dan wordt elke oppervlakte dus de helft,  dus de totale oppervlakte ook. Maar de totale breedte wordt dan k de helft, dus als je het gemiddelde berekent komt daar toch weer hetzelfde uit:
Daar horen de volgende plaatjes bij:      
       

 
Nog steeds geldt de regel van hierboven:
       

gemiddelde hoogte = totale oppervlakte/totale breedte

       
Oneindig veel staafjes...
       
Heel simpel:  als het aantal staafjes groter wordt, dan verandert er HELEMAAL NIETS aan bovenstaande redenering!
Nergens is nodig geweest dat er precies 5 staafjes waren. Had net zo goed 100 kunnen zijn of 400000 of 546373209498457834895....of........ONEINDIG VEEL!!!

Maar ja, waar kom je nou in vredesnaam oneindig veel staafjes tegen......?

Nou......  Ik weet wel een voorbeeld:  Bij een gemiddelde functiewaarde!!
       
Kijk, in de grafiek hiernaast kan x oneindig veel waarden aannemen.
Er zijn er al heel wat getekend...

Bij elke van die (oneindig veel) waarden kun je een y berekenen.

Het gemiddelde van al de y-waarden is dus nog steeds (volgens de redenering hierboven):
 

gemiddelde hoogte = totale oppervlakte/totale breedte

   
Maar die oppervlakte onder de grafiek (bij oneindig veel staafjes)bereken je natuurlijk gewoon met een integraal.
   
Je kunt het ook z zien:
     
In de figuur hiernaast is die G z gekozen dat de groene en de blauwe oppervlakte gelijk zijn.
   
Links staat groen, rechts staat blauw.
En daar staat precies de gevonden formule voor G.
       
         
1. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006
       

  In de figuur hiernaast staat een kwart van de eenheidscirkel met O(0,0), A(1,0) en B(0,1).
Op tijdstip t = 0 start een punt P in A en beweegt langs de cirkelboog AB; op tijdstip t heeft P de cordinaten (cos t, sin t). Q is de loodrechte projectie van P op de y-as.
We bekijken de oppervlakte V van het trapezium OAPQ op tijdstip t waarbij t in het interval  〈0, 1/2π ligt.

De oppervlakte V van het trapezium is  1/2sin t + 1/4sin 2t

       
  a. Toon dit aan.  
         
  De oppervlakte van het trapezium OAPQ verandert op het tijdsinterval 0, 1/2p  voortdurend. In de figuur hiernaast is de grafiek van V getekend als functie van t op dit tijdsinterval.
De gemiddelde oppervlakte van het trapezium OAPQ over het tijdsinterval
0, 1/2p  noemen we k. In de figuur hiernaast is de lijn y = k getekend.

Er geldt: de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de grafiek van V, de t-as en de lijn t = 1/2p is gelijk aan de oppervlakte van het gebied dat wordt ingesloten door de horizontale lijn y = k, de t-as , de y-as en de lijn t = 1/2p.
       
  b. Bereken met behulp van integreren de exacte waarde van k.
         
2. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2006
         
  In de figuur hiernaast is de grafiek getekend van een functie f
De gemiddelde functie waarde van f op het interval [3, 5] is:

De uitkomst noemen we dus  

Bij de volgende vraag kiezen we voor f de functie f(x) = x2

       
  a.
Bereken de exacte waarde van 
       

1/3

  We kiezen nu voor f de functie  f(x) = p ex .
 
Voor een bepaalde waarde van p geldt: 
         
  b. Bereken deze waarde van p in twee decimalen nauwkeurig.
       

1,56

         
3. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2007.

       
  Bij een practicumproef draait een doorzichtige cirkelvormige schijf in een verticaal vlak om zijn middelpunt M . Deze schijf heeft een straal van 1 meter. Tussen twee punten op de rand van de schijf wordt een staaf AB met lengte 1 meter bevestigd. De punten op de rand van de schijf hebben een constante snelheid van 1 m/s. Het geheel wordt beschenen door een bundel verticaal invallende evenwijdige lichtstralen. In deze opgave bekijken we de lengte van de schaduw ABvan de staaf op de grond. We maken een wiskundig model bij deze proef. We kiezen het assenstelsel in het draaivlak van de schijf, met de x -as langs de grond en de y -as door het middelpunt M van de schijf. De bewegingsvergelijkingen van A en B zijn:
         
 
         
  Hierbij zijn  x en y in meter en is t in seconde.
De lengte (in meter) van de schaduw
ABop tijdstip t noemen we l(t) .
Voor elke waarde van
t tussen 0 en π geldt: l(t) = sint .
         
  a. Toon dit langs algebrasche weg aan.
         
  Om de gemiddelde schaduwlengte g van AB (in meter) te berekenen, kunnen we ons beperken tot een halve omwenteling: 0 ≤ t π .
         
  b. Toon aan dat er geldt:  g = 2/π
         
4. Functies van de vorm  f(x) = a - b e-cx  beschrijven processen die asymptotische groei vertonen.  Hiernaast zie je de grafiek van n van zulke functies.

       
  a. Bepaal a, b en c voor deze grafiek.  
       
  De functie met a = 200, b = 190 en c = 0,05 beschrijft de groei van een zonnebloem.
       
  b. Bereken de gemiddelde lengte van deze zonnebloem over de eerste honderd dagen van zijn groei.
       

162,56 cm

         
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)