opgaven meetkunde

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Constructies, hoeken en afstanden.

Hieronder staan twee kubussen ABCD.EFGH.
Links is lijn AP getekend, met P het midden van HG
Rechts zijn de vlakken ACH en EDCF met hun snijlijn CM getekend

Bereken de hoek tussen lijn AP en vlak EHBC

45º

Bereken de hoek tussen de vlakken ACH en EDCF

90º

Bereken de afstand van M tot FD als de ribben van de kubus gelijk zijn aan 4.

1,633

Examenvraagstuk HAVO 1990

Het lichaam ABC.DEF past in een balk van 4 bij 4 bij 6 dm. D ligt op hoogte 3 dm en E op hoogte 2 dm. Zie de figuur hiernaast.

Bereken de inhoud van ABC.DEF

29¹/₃

Teken een uitslag van ABC.DEF

In punt F bevindt zich een draaibare ring. Door deze ring wordt een metalen stang geschoven. Deze stang rust op ribbe DE en wordt doorgeschoven totdat hij de grond raakt (zie onderste figuur)

Bij verschillende standen van de stang horen verschillende contactpunten van de stang met de grond.

Teken de figuur die gevormd wordt door alle mogelijke contactpunten.

P is het contactpunt dat het dichtst bij F ligt. Onderzoek of een stang met lengte 75 cm lang genoeg is om F met P te verbinden.

nee: 76,8

Examenvraagstuk.

ABCD.EFGH is een balk met een vierkant grondvlak (3 bij 3 cm) en een hoogte van 4 cm. Door de hoekpunten A en B is een lijn l getrokken. Het punt P beweegt met een constante snelheid van 1 cm per seconde over de lijn in een richting zoals aangegeven in de figuur hiernaast.

Op t = 0 bevindt P zich in hoekpunt B (de tijd t wordt gemeten in seconden).

Bereken de hoek die HP maakt met het grondvlak op t = 0. Rond je antwoord af op een geheel aantal graden.

43º

HP snijdt het zijvlak BCGF in een punt S. Als P over lijn l beweegt, verandert de positie van S in het zijvlak BCGF.

Beredeneer dat S over lijn BG beweegt.

Teken vlak BCGF op ware grootte en teken daarin de baan die S heeft afgelegd in het tijdsinterval 0 ≤ t ≤ 6. Geef een toelichting bij je tekening.

De snelheid waarmee S over BG beweegt is afhankelijk van t. Druk de snelheid van S uit in t.

v = ¹⁵/_{(3 + t)²}

Gegeven is kubus ABCD.EFGH met ribben van 6 cm.
P is het snijpunt van EG en HF

Bereken de hoek tussen de lijnen AP en BE

73,2º

Bereken de hoek die lijn AP met vlak DBF maakt.

35,3º

Bereken de hoek tussen de vlakken ACH en ADH.

54,7º

Hierboven links zie je een tekening van een tent. Rechts staat de figuur in zijn wiskundige vorm, zonder tentdoek, scheerlijnen en stokken nader uitgewerkt.
Voor de tent is als basisvorm een regelmatige piramide T.ABCD gekozen met grondvlak 2 m. bij 2 m. en hoogte 1,5 m.
Echter vlak TBC is vervangen door een uitbouw. In deze uitbouw is een loodrechte wand BGHC gemaakt. Het overblijvende deel (BCGHEF) vormt een soort overkapping.

Bereken in graden nauwkeurig de grootte van de hoek tussen de vlakken TAD en ABCD.

56º

EF ligt 0,8 meter boven de grond en is 0,5 meter lang.
De afstand van EF tot BCGH is 0,5 meter.

Bereken de hoek die EB met het grondvlak maakt.

41,6º

Teken de drie aanzichten van deze tent met schaal 1 : 50. Geef daarin vlak BCGH met kleur aan.

Hieronder staan drie kubussen, elk met ribben 4. De punten M en P zijn middens van de ribben waarop ze liggen.

Bereken de hoek tussen de lijnen EB en MF

71,6º

Bereken de hoek tussen lijn AP en vlak EBCH

45º

Bereken de hoek tussen de vlakken EBG en EBCH

35,3º

In een blokkendoos zit het huis hiernaast. Het bestaat uit een balk met een regelmatige piramide erop.

De afmetingen zijn: AB = BC = 8, TF = 6, BF = 4.

Bereken de afstand van punt T tot het grondvlak.

Het valt me op dat de vlakken TFG en EBCH evenwijdig lijken te lopen.
Bewijs dat dat inderdaad zo is, en bereken de afstand tussen deze beide vlakken in drie decimalen nauwkeurig.

3,578

Bereken de afstand van punt B tot lijn TG in twee decimalen.

7,54

Ik zet een zaag op de middens van TF en TG en zaag het blok loodrecht naar beneden door. Bereken de inhoud van het deel rechts van de zaagsnede.

70²/₃

Gegeven is de balk ABCD.EFGH met AB = 12 en
AE = AD = 4.
P ligt op het verlengde van GC zodat PG = 2.
Lijn AP snijdt het bovenvlak van de balk in punt Q.

Teken punt Q.

Bereken de lengte van AQ

9¹/₃

Vanaf punt P wordt een touw strak gespannen in één rechte lijn via punt R op ribbe EF naar een punt S op het verlengde van ribbe DA.

Teken de aanzichten van de balk met het touw.

Construeer punt R in de ruimtelijke figuur

Bereken de lengte van DR.

Hiernaast staat een ruimtelijke figuur ABCD.EFGH. Het grondvlak is een rechthoek van 8 bij 11, het bovenvlak een rechthoek van 3 bij 4.
Grondvlak en bovenvlak zijn evenwijdig.
Punt E ligt recht boven A.
AE heeft lengte 6.

Teken een uitslag van deze figuur met schaal 1 : 2.

Teken de drie aanzichten van deze figuur.

Teken in het bovenaanzicht de hoogtelijnen op hoogte 2 en 4.

Bereken de lengte van FD.

√116

Teken vlak ACGE, en bereken daarmee de hoek die AG en EC met elkaar maken.

50,2º

Is deze figuur een afgeknotte piramide? Leg uit!

10.

Gegeven is een prisma AOD.BCE met AD = AB = 50 en OA = 40 en OD = 30.
P is een punt van DE zodat DP = 15. Q is een punt van AD en R is een punt van BC zodat RC = 10.

Teken de doorsnede van vlak PQR met het prisma.

Het prisma wordt doorsneden door een vlak dat door P en R gaat en dat loodrecht op het grondvlak OABC staat.

Teken de drie aanzichten van het prisma met dit vlak erin.

M is het midden van BD. We bekijken de route van C naar M over de grensvlakken van het prisma. Dat kan via een punt S op DE.

Hoe groot moet ES zijn opdat de route van C naar M via S minimale lengte heeft?

¹⁵⁰/₁₁

11.

Een architect heeft het huis ontworpen dat hiernaast in parallelprojectie staat getekend. Zij maakt er een schaalmodel van. Daarin is ABGF een vierkant met zijde 6, BC = 3, en ACDE is ook een vierkant. Hoek ABC is 90˚.
De volgende vragen gaan over dit schaalmodel.

Is dit huis een prisma? Leg uit!

Bereken de inhoud.

324

Teken een voor- zij- en bovenaanzicht.

Op lijn FG staat een lantaarnpaal. Teken in de figuur hieronder de schaduw van dit schaalmodel ten gevolge van lichtbron L. Geef een duidelijke toelichting.

Er moet in het huis een vloer komen voor een eerste verdieping. Die vloer komt op hoogte h boven het grondvlak, en hij ligt horizontaal. De architect meet voor verschillende waarden van h de oppervlakte (O) van deze vloer. Schets de grafiek van O(h).

12.

Examenvraagstuk HAVO 1990.

In een betonconstructie kruisen twee horizontale balken elkaar loodrecht (zie figuur A). De afstand tussen de balken is 6 meter. De balken zijn verbonden door een zuil met rechthoekig boven- en ondervlak (zie figuur B). De middelpunten van de rechthoeken liggen recht boven elkaar. Beide rechthoeken zijn 1 bij 4 meter. In figuur C zie je een bovenaanzicht van de zuil.

De vier opstaande vlakken maken een even grote hoek met het horizontale vlak.

Bereken de grootte van die hoek in graden nauwkeurig.

76º

Er wordt een kartonnen model van de zuil gemaakt op schaal 1 : 100. Teken een bouwplaat van dit model. De bouwplaat mag niet uit losse stukken bestaan en de plakrandjes hoeven niet te worden getekend.

Rondom de zuil wordt, op halve hoogte en horizontaal, een lint strak gespannen.

Bereken hoe lang dat lint is.

10 m

Is het mogelijk om het lint langs de zuil omhoog (of omlaag) te schuiven zó, dat het lint horizontaal en strak gespannen blijft? Licht je antwoord toe.

13.

Van piramide T.ABCD ligt de top T op hoogte 12 boven het grondvlak ABCD. Het grondvlak is een rechthoek waarin AB = 12 en BC = 9. T' is de loodrechte projectie van T op het grondvlak. T' ligt zo op lijnstuk BD dat BT' = 2DT'.
Zie de piramide hieronder. Rechts is het bovenaanzicht getekend.

Bereken de hoek, tussen de vlakken TAD en ABCD in graden nauwkeurig.

71,6º

Bereken de lengte van de ribbe AT.

Het vlak door AT loodrecht op het grondvlak verdeelt de piramide in twee delen. Hoe verhouden zich de inhouden van die twee delen? Licht je antwoord toe.

1 : 4

Een vlak V dat evenwijdig is aan het grondvlak ABCD ligt op afstand x onder de top (0 < x < 12)
V snijdt de piramide volgens een rechthoek PQRS. PQRS is het bovenvlak van een balk EFGH.PQRS waarbij EFGH in het grondvlak van de piramide ligt. Zie de figuur hiernaast.

In de figuur hiernaast is de situatie getekend voor x = 4. Bereken in deze situatie de inhoud van de balk.

192

Onderzoek wat de maximale inhoud van de balk is als V in hoogte varieert.

192

14.

Examenvraagstuk.

In de kubus ABCD.EFGH met ribbenlengte 6 bevindt zich een ruimtelijk lichaam L. Van de acht hoekpunten van L zijn er twee tevens hoekpunten van de kubus, de punten D en F. De overige zes punten van L zijn de middens van de zijvlakken van de kubus; P, Q, R, S, T en U zijn achtereenvolgens de middens van de vierkanten EFGH, ADHE, ABFE, ABCD, BCGF en CDHG.

Toon aan dat alle ribben van L even lang zijn.

Teken het aanzicht in de richting van lijn AC van de kubus met daarin het lichaam L.

Teken vierhoek RSTF op ware grootte.

Onderzoek of lichaam L een kubus is.

NEE

Lichaamsdiagonaal BH staat loodrecht op de vlakken ACF en DEG (dit hoeft niet aangetoond te worden)

Toon aan dat de afstand van vlak FRST tot vlak PQDU gelijk is aan 2√3

Bereken zonder af te ronden de inhoud van lichaam L.

15.

Examenvraagstuk

Van de balk ABCD.EFGH hiernaast is gegeven:
AB = BC = 4 en AE = 8. M en N zijn achtereenvolgens de middens van de ribben BF en DH.

Bereken de inhoud van het viervlak ACFH.

42²/₃

Teken de doorsnede van vlak AMN met het viervlak ACFH.

Bereken de afstand tussen de lijnen AM en GN.

2√6

Neem nu aan dat ABCD.EFGH de binnenkant is van een doos waar een massieve cilinder precies in past. Een dunne draad komt bij A de doos binnen, loopt in de doos achter de cilinder om en komt er bij E weer uit. Die draad wordt zo strak mogelijk aangetrokken. De dikte van de draad mag worden verwaarloosd. We nemen verder aan dat de draad vrij langs de cilinder kan glijden, ook op plaatsen waar de cilinder de binnenkant van de doos raakt.

Teken het bovenaanzicht van het gedeelte van de draad dat binnen de doos zit en bereken in één decimaal nauwkeurig de lengte van dit deel van de draad. Licht je werkwijze toe.

15,7

16.

Aan een muur is een uitbouw ABCD.EF gemaakt (zie tekening). Er geldt EF = BC = 4 en AD = 10. Vlak ADEF staat loodrecht op het grondvlak ABCD, en lijnstuk EF bevindt zich op hoogte 4 boven het grondvlak. Ook de afstand tussen BC en AD is 4.
De uitbouw is symmetrisch.

Bereken de hoek die de lijnen EB en DF met elkaar maken.

55,55º

Bereken de hoek die de vlakken ABE en BCFE met elkaar maken.

136,7º

Bereken de inhoud van deze uitbouw.

Bereken de afstand van punt A tot vlak EBCF in twee decimalen nauwkeurig.

3,12

17.

De figuur hiernaast stelt een huis voor met een zogenaamd "schilddak". De nok KL bevindt zich 15 meter boven het grondvlak ABCD.
Verder is AB = 18 m, BC = 12 m, AE = KL = 6 m

Bereken de inhoud van het huis

2052

In het huis wordt een horizontale vloer op hoogte h = 9 gelegd. Bereken de oppervlakte van die vloer.

112

Bereken de hoek die lijn LF met vlak EFGH maakt.

46,69º

Bereken de kortste afstand van punt E tot lijn LF in twee decimalen nauwkeurig.

15,74

P is een punt van AB zodat PK = √265. Bereken de afstand AP.

4 of 8

18.

Gegeven is kubus ABCD.EFGH met ribben 4.
M is het midden van EH, P is een punt op BC zodat PB = 1.

De coördinaten van P zijn (1, 2, -4). Teken in dat geval de kubus met de oorsprong van het assenstelsel dat daarbij hoort.

Bereken de lengte van MP

√33

Bereken hoek MPG in twee decimalen nauwkeurig.

48,59º

De kubus wordt doorgezaagd via vlak ACH. Het deel met punt F gaat eraf.
Teken een voor- zij- en bovenaanzicht van het overgebleven deel.

Daarna wordt dit overgebleven deel nóg eens doorgezaagd, nu langs het vlak dat oorspronkelijk vlak GCM was. Het deel met punt A gaat eraf.
Maak een ruimtelijke tekening van het overgebleven deel.

19.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1989.

In een Oxyz-assenstelsel ligt de kubus OPQR.KLMN met ribbe 6.
Hierboven is die kubus in scheve projectie getekend.

Het vlak U gaat door K, R, het midden A van LP en het midden B van PQ.

Bereken de oppervlakte van vierhoek ABRK.

Het vlak U wordt in de richting van de positieve z-as 1 eenheid omhooggeschoven. Zo ontstaat vlak V.

Teken de doorsnijdingsfiguur van V met de kubus.

Het diagonaalvlak OPMN is een rechthoek. Het vlak U snijdt dit diagonaalvlak volgens een lijn l.

Teken de lijn l in de rechthoek hiernaast.

Het vlak U draait om de lijn KR.
Het snijpunt A van U met LP verandert daardoor van plaats.
Neem aan dat het punt A juist alle posities op de ribbe LP bereikt.

Arceer in de rechthoek hiernaast het gebied dat bestreken wordt door de snijlijn l van U met het diagonaalvlak OPMN.

20.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2006.

In de figuur hiernaast is het prisma ABC.DEF getekend. De ribben AD, BE en CF staan loodrecht op de vlakken ABC en DEF.
De driehoeken ABC en DEF zijn gelijkzijdig met zijden van 6 cm.
Ook de opstaande ribben van het prisma hebben een lengte van 6 cm.

Het vlak BDF verdeelt het prisma in twee piramides (zie figuur).

Bereken de inhoud van de piramide B.ACFD. Geef je antwoord in cm³ nauwkeurig.

P is het midden van ribbe EF.
Lijn AP snijdt vlak BDF in punt S.

Teken het punt S. Licht je werkwijze toe.

Bereken de hoek die lijn BD met vlak ACFD maakt. Geef je antwoord in gehele graden.

21.

examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2014.

Gegeven is het prisma ABC.DEF. Het grondvlak ABC is een gelijkzijdige driehoek met zijde 4.
De hoogte van het prisma is 8. Verder zijn het punt G op ribbe AD en het punt H op ribbe BE gegeven met DG = BH = 2. Zie de figuur linksonder.

Lichaam ABC.GHF ontstaat door van het prisma uit de figuur linksonder een stuk af te snijden met als snijvlak het vlak FGH. Zie de figuur rechtsonder.

Driehoek FGH is een rechthoekige driehoek, met de rechte hoek bij G.

Toon dit met behulp van exacte berekeningen aan.

Hieronder is een begin gemaakt met een uitslag van ABC.GHF.
Maak de uitslag af. Zet de letters bij de hoekpunten en licht je werkwijze toe.

Punt M is het midden van ribbe AB. Zie de figuur hiernaast

Teken de doorsnede van ABC.GHF met het vlak door M evenwijdig aan FGH.
Licht je werkwijze toe.

22.

Hiernaast zie je een regelmatig zeszijdig prisma ABCDEF.GHIJKL getekend waarvan alle ribben 6 zijn.
P is een punt van EK

Teken de doorsnede van vlak ALP met het prisma.

Bereken de kortste route van H naar E via de vlakken van het prisma. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

17,46

Construeer het snijpunt van lijn BJ met vlak CDK.

23.

Van piramide T.ABCD is het grondvlak een vierkant met zijden 6.
D is de loodrechte projectie van T op het grondvlak en DT = 8.
Op BT ligt een punt P zodat BP = 2 • PT.
Op CD ligt een punt Q zodat DQ = 2

Zie de figuur.

Construeer het snijpunt van PQ met vlak TAC.

Construeer de doorsnede van het vlak door P en Q dat evenwijdig is aan DT met de piramide.

De doorsnede uit b) verdeelt de piramide in twee stukken. Bereken de inhoud van het rechtergedeelte.

49⁷/₉

Bol b heeft D als middelpunt en straal 5.
Bereken de straal van de snijcirkel van b met vlak BCT.

1,4

24.

Examenvraagstuk HAVO, 1969

In een regelmatige vierzijdige piramide T.ABCD zijn alle ribben even lang.
Het midden van de ribbe CT is het punt P.

Construeer de doorsnede van de piramide met het vlak dat door A en P gaat en dat evenwijdig aan BT is.

Bereken ∠BPD.

109º