|
|||||
| 1. | a. | Het snijpunt van AP met vlak EHCB is punt S
hiernaast (hulpvlak AHGB gebruikt) De projectie van A op EHCB is A' Het gaat om de hoek ASA' Neem de ribben lengte bijv. 8 AA' = √(42 + 42 ) = √32 ASB is gelijkvormig met PSH met factor 2, dus AS = 2/3AP AP = √(82 + 82 + 42) = 12 dus AS = 8 sin(ASA') = AA'/AS = √32/8 ∠ASA' = sin-1(√32/8) = 45º |
|
||
| b. | Neem de ribben lengte bijv. 8 | ||||
|
|
|||||
| De snijlijn is CS,
dus kies twee lijnen loodrecht op CS In het rode vlak is dat ED In het blauwe vlak kiezen we daarom SP loodrecht SC (zie de figuur rechts) Driehoek PES is gelijkvormig met SDC PE/ES = SD/DG dus PE/4√2 = 4√2/8 en dat geeft PE = 4√2 • 4√2/8 = 4 de gezochte hoek is ∠PSE. tan(PSE) = 4/4√2 geeft ∠PSE = 35,3º |
|||||
| c. | MF = √(22
+ 42 + 22) = √24 MD = √(22 + 22) = √8 FD = √(42 + 42 + 42) = √48 MQ2 = 48 - x2 = 24 - (√48 - x)2 48 - x2 = 24 - 48 + 2x√48 - x2 72 = 2x√48 x = 72/2√48 = 5,20 MQ = √(48 - 5,202) = 4,58 |
|
|||
| 2. | a. | Vlak EGH evenwijdig aan BCA verdeelt het
lichaam in een prisma ABC.GEH en een piramide E.GHFD inhoud prisma: 1/2 • 4 • 4 • 2 = 16 inhoud piramide: grondvlak is een rechthoek plus een driehoek: 4 •1 + 1/2 • 4 • 3 = 10 de hoogte is EH = 4 inhoud 1/3 • 10 • 4 = 40/3 De totale inhoud is dan 291/3. |
|
||
| b. |
|
||||
| Zie de figuur. De grijze lijntjes zijn hulplijntjes. | |||||
| c. |
|
||||
| Het is de snijlijn van vlak FDE met het grondvlak. Dat is de blauwe lijn l hierboven. | |||||
| d. |
|
||||
| De kortste afstand
van F naar l is de lijn FP loodrecht op l DAK is gelijkvormig met FQD dus AK/DA = QD/FQ dus AK/3 = 4/3 dus AK = 4 EBL is gelijkvormig met FRE dus BL/EB = RE/FR dus BL/2 = 4/4 dus BL = 2 KL2 = KC2 + CL2 = 82 + 62 = 100 dus KL = 10 KF2 = KC2 + CF2 = 82 + 62 = 100 dus KF = 10 FL2 = FC2 + CL2 = 62 + 62 = 72 dus FL = √72 Stel KP = x Dan is FP2 = FK2 - x2 = 100 - x2 maar ook FP2 = FL2 - (10 - x)2 = 72 - 100 + 20x - x2 Stel die aan elkaar gelijk: 100 - x2 = -28 + 20x - x2 128 = 20x geeft x = 6,4 en FP2 = 100 - 6,42 = 59,04 dus FP = 7,68 dat is 76,8 cm, dus 75 cm is NIET lang genoeg. |
|||||
| 3. | a. | Het is hoek HBD. DB = √(32 + 32) = √18 en HD = 4 tan(HDB) = HD/DB = 4/√18 geeft ∠HDB ≈ 43º |
|||
| b. | HP ligt in vlak HAB,
dus S ook. S ligt ook in het zijvlak BCGF, dus ligt S op de snijlijn van beide vlakken. De snijlijn van HAB en BCGF is lijn BG |
||||
| c. | Op t = 6 is BP = 6 Dat geeft deze figuur: |
||||
|
|
|||||
| De grijze lijnen zijn hulplijnen. Vlak ABGHP is als hulpvlak getekend. Het rode lijnstuk is door S afgelegd. | |||||
| d. | BP = t geeft
AP = 3 + t Zie de figuur bij vraag c. BS/BP = AH/AP want BSP en AHP zijn gelijkvormig BS = BP • AH/AP dus BS = t • 5/(3 + t) = 5t/(3 + t) De snelheid v is de afgeleide daarvan: |
||||
 |
|||||
| 4. | a. | Verplaats BE naar MP (M midden van BG) AP2 = 32 + 32 + 62 = 54 dus AP = √54 PM2 = 32 + 32 = 18 dus PM = √18 AM2 = 62 + 32 + 32 = 54 dus AM = √54 APM is gelijkbenig. Noem het midden van PM punt N sin(NAP) = PN/PA = 0,5√18/√54 = 0,2887 ∠NAP = 16,78º dus ∠MAP = 2 • 16,78 = 33,56º Dan zijn de basishoeken van driehoek MAP samen 180 - 33,56 = 146,44º dus elke hoek is 73,2º De hoek tussen AP en EB is dus 73,2º |
|
||
| b. | Het snijpunt van AP en vlak DBF is punt P De projectie van A op vlak DBF is A' (het midden van BD) Het gaat om hoek APA' PA' = 6 en AA' = √(32 + 32) = √18 tan(APA') = AA'/PA' = √18/6 = 0,7071 Dan is ∠APA' = 35,3º |
|
|||
| c. | De snijlijn is AH. In het rode vlak staat CM daar loodrecht op, en in het blauwe vlak EM. Het gaat om de hoek tussen EM en CM. EM2 = 32 + 32 = 18 dus EM = √18 CM2 = 32 + 62 + 32 = 54 dus CM = √54 EC2 = 62 + 62 + 62 = 108 dus EC = √108 cosinusregel: 108 = 54 + 18 - 2 • √54 • √18 • cosEMC 36 = -2√54√18 • cosEMC -0,5774 = cosEMC EMC = 125,3º Dan is de hoek tussen de vlakken gelijk aan 180 - 125,3 = 54,7º |
|
|||
| 5. | a. | Dat is hoek TMN (M en N middens) tanTMN = 1,5/1 = 1,5 geeft ∠TMN = 56,3º |
|
||
| b. | Het gaat om hoek EBE' hiernaast (E' is de
projectie van E op het grondvlak) BE'2 = 0,52 + 0,752 = 0,8125 dus BE'= √0,8125 = 0,9014 tan(EBE') = 0,8/0,9014 = 0,8875 ∠EBE' = 41,6º |
|
|||
| c. |
|
||||
| 6. | a. | Verplaats EB bijv. naar MN (N midden van CG) Het gaat om hoek FMN FM2 = 42 + 22 = 20 dus FM = √20 MN2 = 22 + 22 = 8 dus MN = √8 FN2 = 42 + 22 = 20 dus FN = √20 ∠FMN is een basishoek van een gelijkbenige driehoek. Bereken de tophoek F: sin(0,5F) = 0,5MN/FM = 0,5√8/√20 = 0,3162 0,5F = 18,43º Dus ∠F = 36,87º De basishoeken zijn dan samen 180 - 36,87 = 143,13º Elke is dus 71,6º De hoek tussen EB en MF is 71,6º |
|
||
| b. | Teken hulpvlak EGCA door AP, dan is de
snijlijn EC. Het snijpunt van AP met EBCH is punt S. A' is de projectie van A op EBCH en is het midden van EB. Het gaat om hoek ASA' In vlak EGCA zijn de driehoeken ASE en PSC gelijkvormig met factor 2 (want PC is de helft van EA) Dus is AS = 2/3AP. AP = √(42 + 42 + 22 ) = √36 = 6 dus AS = 4 AA' = √(22 + 22) = √8 sin(ASA') = AA'/AS = √8/4 = 1/2√2 dan is ∠ASA' = 45º |
|
|||
| c. | De snijlijn is EB. In vlak EBG staat MG daar loodrecht op en in vlak EBCH staat MN daar loodrecht op (M en N middens) Het gaat om hoek GMN MN = 4 GM = √(42 + 22 + 22) = √24 NG = √(22 + 22) = √8 cosinusregel: 8 = 16 + 24 - 2 • 4 • √24 • cosGMN -32 = -8√24 • cosGMN cosGMN = 0,8165 ∠GMN = 35,3º |
|
|||
| 7. | a. | S is de projectie van T op vlak EFGH SF2 = 42 + 42 = 32 TS2 = TF2 - SF2 = 62 - 32 = 4 dus TS = 2 De hoogte van T boven het grondvlak is 4 + 2 = 6 |
|
||
| b. |
|
||||
| De blauwe lijnen BC
en FG zijn evenwijdig. TF en HB zijn ook evenwijdig; BH gaat 4 omhoog en horizontaal de afstand BD. TF over de helft van die horizontale afstand 2 omhoog, dus dat is evenwijdig. De vlakken hebben twee paar evenwijdige lijnen en zijn daarom evenwijdig. Zie de rechterfiguur. De gezochte afstand is de groene lijn TT' (loodrecht op HB) TT' = √(62 - 32) = √27 |
|||||
| c. | BT2 = 42 +
42 + 62 = 68 dus BT =
√68 BG2 = 82 + 42 = 80 dus BG = √80 GT = 6 d2 = 68 - x2 = 80 - (6 - x)2 68 - x2 = 80 - 36 + 12x - x2 24 = 12x x = 2 d = √(68 - 22) = √64 = 8 |
|
|||
| d. | Zie de figuur hiernaast. Het deel bestaat uit een balk, twee piramides en een prisma. balk: inhoud 8 • 2 • 4 = 64 piramide: inhoud 1/3 • 2 • 2 • 1 = 4/3 prisma: inhoud 1/2 • 2 • 1 • 4 = 4 Samen is dat 64 + 2 • 4/3 + 4 = 702/3 |
|
|||
| 8. | a. | hulpvlak ACGE door AP snijdt het
bovenvlak volgens EG. Q is het snijpunt van AP en EG. |
 |
||
| b. | AQE is gelijkvormig met PQG EA = 2 • PG dus is ook AQ = 2 • QP Dan is AQ = 2/3AP AP = √(122 + 42 + 62) = √196 = 14 AQ = 2/3 • 14 = 91/3 |
||||
| c. |
|
||||
| Het touw en lijn EF
liggen in een plat vlak. Dat geeft de figuur hierboven (ES evenwijdig
aan PF getekend). De aanzichten zijn dan: (rode stippellijntjes zijn hulplijntjes) |
|||||
|
|
|||||
| d. | zie bovenaan c. | ||||
| e. | Van P naar R daalt
het touw 2, en van R naar S daalt het 4. Dus is RS = 2 • RP en ook ER = 2 • RF (driehoeken ERS en FRP zijn immers gelijkvormig) ER = 2/3 • 12 = 8 DR2 = 42 + 42 + 82 = 96 dus DR = √96 |
||||
| 9. | a. |
|
|||
| De grijze lijnen zijn
hulplijnen. DH rechts is gevonden door te omcirkelen. BF onder is getekend met een rechthoekige driehoek van 7 bij 6, en daarna omcirkeld. |
|||||
| bc. |
|
||||
| d. | Loop via de route FEAD: FD2 = 42 + 62 + 82 = 116 dus FD = √116 | ||||
| e. | AC = √(112
+ 82) = √185 tanα = 6/8 geeft α = 50,19º (driehoek GEA) tanβ = 6/√185 geeft β = 23,80º γ = 180 - 50,19 - 23,80 = 106º De hoek tussen de lijnen is dan 74º |
|
|||
| f. | NEE. Dan zou de vorm van vlak EFGH gelijk moeten zijn aan de vorm van ABCD. Omdat 8/11 niet gelijk is aan 3/4 zijn die vlakken niet gelijkvormig, dus is het lichaam geen afgeknotte piramide. |
||||
| 10. | a. |
|
|||
| RS3 is evenwijdig aan S2Q getekend. | |||||
| b. |
|
||||
| c. | Zie de uitslag van ABED en DECO hiernaast. De kortste route is de rechte lijn MC. SEC is gelijkvormig met MNC SE/EC = MN/NC dus SE/30 = 25/55 Dat geeft SE = 30 • 25/55 = 150/11 |
|
|||
| 11. | a. | JA: vlakken ABCDE en FGHIJ zijn evenwijdig en de ribben ertussen ook. | |||
| b. | Oppervlakte ABCDE: AC2 = 32 + 62 = 45 en dat is de oppervlakte van ACDE oppervlakte ACB is 1/2 • 6 • 3 = 9 Samen geeft dat oppervlakte grondvlak 54 inhoud prisma is dan 54 • 6 = 324 |
||||
| c. |
|
||||
| d. |
|
||||
| e. | De driehoeken ACB en EAE' en DCP zijn gelijk. Dus EE' = 6 en DD' = 9 h = 0 geeft oppervlakte 36 Q ligt halverwege EA (de tekening klopt niet helemaal, maar is slechts een schets) want de hoogte is 3. Dat betekent dat CQ = 7,5 De oppervlakte van het vlak op hoogte 3 is 7,5 • 6 = 45 Tussen h = 0 en h = 3 neemt de oppervlakte lineair toe van 36 naar 45. |
|
|||
| Tussen h = 3
en h = 6 blijft de oppervlakte constant 45. Tussen h = 6
en h = 9 neemt de oppervlakte lineair af van 45 naar 0 |
|||||
|
|
|||||
| 12. | a. | Zie de figuur hiernaast. tanα = 6/1,5 geeft α = 76º |
|
||
| b. |
|
||||
| Zie de figuur. De grijze lijnen zijn hulplijnen. Met een hulpdriehoek van 1,5 bij 6 is de lengte PQ getekend. | |||||
| c. | De lengte van het
lint over één zijvlak is 2,5 meter (het gemiddelde van 4 en 1) Dus over vier zijvlakken heeft het lint lengte 4 • 2,5 = 10m |
||||
| d. | Ja, dat kan, want de zijvlakken zijn gelijk aan elkaar. De figuur is symmetrisch. Dus wat het ene vlak breder wordt, wordt het andere juist smaller. Samen blijft het gelijk. | ||||
| 13. | a. |
|
|||
| Het is hoek TPT'
hierboven. Omdat TD = 1/3BD is ook T'P = 1/3AB = 1/3 • 12 = 4 tan(TPT') = T'P/TT' = 4/12 Dan is de hoek tan-1(4/12) = 18º |
|||||
| b. | AP =
1/3AD
= 1/3
• 9 = 3 AT' = √(AP2 + PT'2) = √(32 + 42) = 5 AT = √(AT'2 + TT'2) = √(52 + 122) = 13 |
||||
| c. |
|
||||
| Het is vlak TAQ. Dat verdeeld de figuur in twee piramiden met gelijk hoogte (TT') De verhouding van hun inhouden is dan gelijk aan de verhouding van hun grondvlakken. Omdat TD = 0,5BT is ook DQ = 0,5AB (driehoeken DTQ en BTA zijn gelijkvormig) Dus is driehoek ADQ 1/4 deel van rechthoek ABCD. De inhoud van T.AQO is dan ook 1/4 van de hele figuur De verhoudingen zijn dus 1/4 : 3/4 ofwel 1 : 3 |
|||||
| d. | Als x = 4 dan is QF = 8 =
2/3TT' Dus is ook PQ = 1/3AB = 1/3 • 12 = 4 En RQ = 1/3BC = 1/3 • 9 = 3 De inhoud is dan 4 • 3 • 4 = 48 |
|
|||
| e. | QF = 12 - x PQ/AB = x/12 geeft dan PQ = x QR/BC = x/12 geeft dan QR = 0,75x Inhoud is (12 - x) • x • 0,75x = 9x2 - 0,75x3 |
||||
| Dat is maximaal als
de afgeleide ervan nul is. 18x - 2,25x2 = 0 x(18 - 2,25x) = 0 x = 0 ∨ x = 8 De inhoud is maximaal als x = 8 en dan is de inhoud 9x2 - 0,75x3 = 192 |
|||||
| 14. | a. |
|
|||
| De ribben die door de
kubus lopen (rood in de linkerfiguur) zijn schuine zijden van een
driehoekje met rechthoekszijden 3 en 3. De ribben die over het oppervlakte van de kubus lopen (blauw in de rechterfiguur) zijn ook schuine zijden van een driehoekje met rechthoekszijden 3 en 3. Ze zijn dus allemaal even lang. |
|||||
| b. |
|
||||
| De rode figuur is het aanzicht. De grijze zijn hulplijnen (ribben en diagonalen van de kubus) | |||||
| c. | De zijden zijn schuine zijden van een
driehoek met rechthoekszijden 3 en 3 (zie vraag a) TR heeft ook die lengte, dus de driehoeken TRS en TRF zijn gelijkzijdig. Met T en R als middelpunt zijn hulpbogen van cirkels met straal TR getekend. |
|
|||
| d. | Zie vraag c. De hoeken zijn geen 90º dus is de figuur geen kubus. | ||||
| e. | ACF is hetzelfde vlak als FRST en
DEG is hetzelfde vlak als PQDU. Teken vlak BFHD plat. Zie hiernaast. Het gaat nu om de blauwe afstand VW waarbij gegeven is dat DP en SF loodrecht op BH staan. DP = √(62 + (3√2)2) = √54 = 3√6 oppervlakte driehoek DPH: 0,5 • 3√2 • 6 = 0,5 • 3√6 • HV Dat geeft HV = 6 • √(2/6) = √12 Dan is ook WB = √12. VW = HB - 2√12 = √108 - 2√12 = 6√3 - 4√3 = 2√3 |
 |
|||
| f. | Zie de figuur als een
prisma met bodemvlak FRST. Dan is de hoogte 2√3
(vraag e) FRST bestaat uit twee gelijkzijdige driehoek met zijden √(32 + 32) = 3√2 (vraag c) de hoogte van zo'n driehoek is √((3√2)2 - (1,5√2)2) = √(18 - 4,5) = √13,5 De oppervlakte van FRST is dan 2 • (1/2 • 3√2 • √13,5) = 3√27 = 9√3 De inhoud van het lichaam is dan G • h = 9√3 • 2√3 = 54 |
||||
| 15. | a. | Je krijgt ACFH door van de balk
vier keer een piramide (zoals A.EHF) af te halen. Zo'n piramide heeft inhoud 1/3 • 8 • 8 = 64/3 De inhoud van ACFH is dan 4 • 4 • 8 - 4 • 64/3 = 422/3 |
|
||
| b. | Zie hiernaast. AM en NG zijn evenwijdig, en ook NA en GM. |
|
|||
| c. | teken vlak NTBC (T midden van AE) Dan staat TB loodrecht op AM (diagonalen van een vierkant) En NT staat ook loodrecht op AM (NT loodrecht op ABFE) Dus vlak NTCB staat loodrecht op lijn AM NTCB snijdt NG in punt N, en snijdt AM in punt S De gezochte afstand is dan NS. NS2 = NT2 + TS2 = 42 + 22 + 22 = 24 NS = √24 = 2√6 |
|
|||
| d. | Het bovenaanzicht is als
hiernaast links. Het touw volgt de route APSRQE. Dat zijn vijf etappes: AP-PS-SR-RQ-QE dus elk van die etappes geeft verticaal een afstand 8/5 = 1,6 In het midden staat een vooraanzicht. AP is recht en heeft lengte √(22 + 1,62 ) = √6,56 = 2,561 QE is recht en heeft lengte √(22 + 1,62 ) = √6,56 = 2,561 PSRQ loopt over de cilindermantel. Dat staat rechts getekend. |
||||
|
|
|||||
| De cilindermantel
heeft breedte de omtrek van een cirkel met straal 2, dus 4p. Rechts is te zien dat PQ = √((3π)2 + 4,82) = 10,577 De hele touwlengte is dan 10,577 + 2 • 2,561 ≈ 15,7 cm |
|||||
| 16. | a. | Zie de figuur hiernaast. F'D = 0,5(10 - 4) = 3 Er zijn een paar 3-4-5 driehoekjes te vinden. Dat geeft FD = EA = DC = AB = 5 Verplaats FD naar ED' Driehoek ED'B staat rechts. EB = FC = √(42 + 42) = 4√2 cosα = 2√2/5 geeft α = 55,55º |
|
||
| b. | De snijlijn van beide vlakken is
EB. M en N zijn de middens van EB en FC AEB is gelijkbenig, dus AM staat loodrecht op EB AM2 = 52 - (2√2)2 = 17 dus AM = √17 Het gaat om hoek AMN. Zie de rechterfiguur. sinβ = 3/√17 geeft β = 46,69º ∠AMN = 90 + 46,69 = 136,69º |
|
|||
| c. | Het is een prisma plus twee piramides Inhoud prisma: 1/2 • (4 • 4) • 3 = 24 Inhoud piramide: 1/3 • (1/2 • 3 • 4) • 4 = 8 Totale inhoud 24 + 2 • 8 = 40 |
|
|||
| d. | Trek lijn AP loodrecht op AD. Verleng FE en CB Dat geeft driehoek APQ. Het lijnstuk van A naar het midden M van PQ is de gevraagde afstand (want loodrecht op PQ en op EF dus op vlak EBCF) AM2 = 42 - 2,52 = 9,75 AM = √9,75 ≈ 3,12 |
|
|||
| 17. | a. | Een balk, twee piramides en een prisma. De hoogte van KL boven vlak EFGH is 15 - 6 = 9 Balk: 18 • 12 • 6 = 1296 Prisma: (1/2 • 12 • 9) • 6 = 324 Piramide: 1/3 • (6 • 12) • 9 = 216 Samen: 1296 + 324 + 2 • 216 = 2052 m3 |
|
||
| b. | De vloer is PQRS en bevindt zich op afstand 3
vanaf vlak EFGH. Dat is 1/3
van de hele dakhoogte. Over de hele dakhoogte van EF naar KL is de afname 18 - 6 = 12 PQ is daar 1/3 deel van afgenomen, dus PQ = 18 - 4 = 14 Over de hele dakhoogte van FG naar L is de afname 12. QR is daar 1/3 deel van afgenomen, dus QR = 12 - 4 = 8 De oppervlakte is dan 14 • 8 = 112 m2 |
|
|||
| c. | L' is de projectie van L op vlak AFGH (zie
hiernaast) L'F2 = 62 + 62 = 72 dus L'F = √72 Het gaat om hoek LFL' tan(LFL') = 9/√72 dan is ∠LFL' = 46,7º |
|
|||
| d. | LF2 = 92 + (√72)2
= 153 dus LF = √153 LP2 = (√153)2 - 62 = 117 dus LP = √117. Noem de hoogtelijn van E op LF lijn h Oppervlakte driehoek EFL is 1/2 • 18 • √117 Oppervlakte driehoek EFl is 1/2 • √153 • h die zijn gelijk: 18√117 = h√153 h = 18√117/√155 = 15,74 De afstand van E tot LF is dus 15,74 |
|
|||
| e. | Kies als oorsprong D,
en als x-as DA en als y-as DC en als z -as
DH Stel AP = x, dan is P = (12, x, 0) K = (6, 6, 15) KP = √(62 + (x - 6)2 + 152) = √265 36 + x2 - 12x + 36 + 225 = 265 x2 - 12x + 32 = 0 (x - 4)(x - 8) = 0 x = 4 ∨ x = 8 Dus AP = 4 ∨ AP = 8 |
||||
| 18. | a. | Zie hiernaast. De oorsprong is het midden van het bovenvlak. |
|
||
| b. | In het assenstelsel hiernaast is
P(1, 2, -4) en M(0, -2, 0) PM = √(12 + 42 + 42 ) = √33 |
||||
| c. | MG =
√(22 + 42) = √20 PG = √(32 + 42) = √25 = 5 Cosinusregel in driehoek MPG; 20 = 25 + 33 - 2 • 5 • √33 • cosMPG cosMPG = 0,6615 ∠MPG = 48,6º |
||||
| d. |
|
||||
| e. |
|
||||
| Zie de figuur links:
het rode snijvlak GMC geeft de snijlijn CP. Daardoor blijft het blauwe lichaam in de rechtertekening over. |
|||||
| 19. | a. |
|
|||
| Hierboven staat de
kubus met daarnaast vlak U AK2 = 42 + 22 = 20 dus AK = √20 (in driehoek AKL) KR2 = 42 + 42 dus KR = 4√2 (in driehoek KNR) AB2 = 22 + 22 dus Ab = 2√2 (in driehoek APB) Zie de rechterfiguur: AS2 = (√20)2 - (√2)2 = 20 - 2 = 18 dus AS = √18. Oppervlakte ASK is 1/2 • √2 • √18 = 3 Oppervlakte rechthoek is 4√2 • √18 = 24 totale oppervlakte is 24 + 2 • 3 = 30 |
|||||
| b. | Begin met bijv. CD
evenwijdig aan AB (C midden van AL) teken achtereenvolgens: DE evenwijdig aan BR EF evenwijdig aan AK FG evenwijdig aan RK GH evenwijdig aan RB HC evenwijdig aan KA Dat geeft het blauwe vlak V hiernaast. |
|
|||
| c. |
|
||||
| De snijlijn is ST S ligt op PM zodat PS = 1/4PM T is het midden van ON Dat geeft de figuur rechts. |
|||||
| d. |
|
||||
| links en midden staan
de twee uiterste standen van vlak U getekend: als A gelijk wordt
aan P en als A gelijk wordt aan L Dat geeft de uiterste snijlijnen TP en TX. Die zijn rechts getekend. De driehoek TPX is het bedoelde gebied. |
|||||
| 20. | a. | Het
grondvlak is ACFD en heeft oppervlakte 6 • 6 = 36 De hoogte h is de lengte van het lijnstuk van B naar het midden van AC (dat staat loodrecht op ACFD) Pythagoras geeft h2 + 32 = 62 ⇒ h = √27 De inhoud is dan 1/3 • 36 • √27 ≈ 62 cm3 |
|||
| b. | Hulpvlak PQAD
(PQ evenwijdig aan EB)
Snijlijn van de vlakken is RD (R snijpunt van PQ en BF) Gevraagde punt is S: snijpunt van RD en AP.
|
|
|||
| c. | De
projectie van B op ACDF is het midden M van AC. Het gaat om ∠BDM. In driehoek BDM is hoek M 90º. BD = √(62 + 62 ) = √72 en BM = √27 (zie vraag a) sin ∠BDM = √27/√72 = 0,6124 ⇒ ∠BDM ≈ 38º |
||||
| 21. | a. | FG2
= 22 + 42 = 20 GH2 = 42 + 42 = 32 FH2 = 62 + 42 = 52 FG2 + GH2 = FH2 dus de stelling van Pythagoras geldt, dus is de driehoek rechthoekig. (De rechte hoek zit tegenover de langste zijde, en is dus hoek G) |
|||
| b. |
|
||||
| De
zijden met de rechte hoeken op driehoek ABC zijn eenvoudig. FGH is getekend door lijnstukken met lengte GH (rood) en FH (blauw) te omcirkelen met middelpunten resp. G en F. De lengtes kun je overnemen uit de rest van de figuur. (Je zou ook het feit dat hoek FGH 90º is kunnen gebruiken en dan alleen FH omcirkelen) |
|||||
| c. | MP evenwijdig aan
GH PQ evenwijdig aan FG QR evenwijdig aan FH MR maakt de doorsnede af. |
|
|||
| 22. | a. |
|
|||
| Snij LP met FE, dat
geeft S1. S1A geeft S2 (snijpunt met ED) De doorsnede is ALPS2. |
|||||
| b. | Er zijn twee mogelijke routes: via de zijvlakken of via het bovenvlak (via het ondervlak gaat op precis dezelfde manier als via het bovenvlak) | ||||
|
|
|||||
| Via de zijvlakken
geeft de rode route. HE2 = 182 + 62 = 360 dus HE = √360 » 18,97 Via grondvlak/bovenvlak geeft de blauwe route. KS = 6 • cos30º = 6 • 0,5√3 = 3√3 en ES = 6 • sin30º = 6 • 0,5 = 3 HE2 = (6 + 6 + 3√3)2 + 32 ≈ 304,71 dus HE ≈ 17,46 De kortste route is ongeveer gelijk aan 17,46. |
|||||
| c. |
|
||||
| Breid CDK uit tot
CDKH (KH is evenwijdig aan CD, want het bovenvlak is een
regelmatige zeshoek) Hulpvlak BCJG (JG is evenwijdig aan BC want het bovenvlak is een regelmatige zeshoek) Snijlijn van beide vlakken is CS1 Gevraagde snijpunt S. |
|||||
| 23. | a. | Hulpvlak TQB. Snijlijn S1T Het gevraagde punt is het snijpunt van S1T met PQ Punt S in de tekening. |
 |
||
| b. | Teken een lijn door P evenwijdig
aan DT en snij die met DB: dat geeft de projectie S1 van P op
het grondvlak. QS1 snijden met AB geeft S2 Lijn door Q evenwijdig aan DT snijden met CT geeft S3 De doorsnede is S3PS2Q Zie de figuur. |
 |
|||
| c. | Verdeel het lichaam in een prisma
QS3C.S1PR (groen) en een piramide P.S1S2BR
(blauw) S1P = 2/3 • 8 = 16/3 want omdat BP = 2/3BT ligt P op 2/3 van de hoogte. prisma: 1/2 • 4 • 16/3 • 2 = 211/3 piramide: 1/3 • 4 • 4 • 16/3 = 244/9 Samen is dat 497/9 |
 |
|||
| d | Bereken de afstand van D tot vlak
BCT. Dat is de lengte van BV loodrecht op CT. De driehoeken DVC en TDC zijn gelijkvormig DV/DC = TD/TC TC = 10 (Pythagoras), dus DV/6 = 8/10 Dat geeft DV = 4,8 Als de straal van de snijcirkel r is, dan geldt: r2 + 4,82 = 52 r2 = 1,96 r = 1,4 |
|
|||
| 24. | a. | PS1
evenwijdig aan BT (in vlak TBC) Het gaat om de doorsnede van vlak AS1P met de piramide. Grondlijn AS1 snijden met DC geeft S2 S2P snijden met TD geeft S3 De doorsnede is AS1PS3 |
|||
|
|
|||||
| b. | Neem alle zijden
bijvoorbeeld 2. BP = √(22 - 12 ) = √3 BD = √(22 + 22) = √8 = 2√2 S is het midden van BD BS = √2 In PSB: sin(0,5BPD) = √2/√3 Dat geeft 0,5BPD = 54,73º BPD = 109º |
||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||
