© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Gemengde opgaven impliciete vergelijkingen.
   
1. Gegeven is de kromme Kp met vergelijking:  y4 + 16x2 = p + 8y2 .
       
  a. Onderzoek K48  (snijpunten met de coördinaatassen, verticale en horizontale raaklijnen, asymptoten)
en schets K48.
       
  b. Het aantal snijpunten dat K heeft met de lijn y = x noemen we q.
Onderzoek hoe q afhangt van p.
       
  c. Voor bepaalde p hebben de y-waarden van Kp bereik [-9, 9]
Wat is het bereik van de x-waarden van deze Kp?
       
2. Gegeven is kromme Kp door:  x2 - 3y2 + px + 18y - 24 = 0
       
  a. Onderzoek K2 (snijpunten met de coördinaatassen, verticale en horizontale raaklijnen, asymptoten)
en schets K2.
       
  b. Bewijs dat K2 symmetrisch is ten opzichte van het punt (-1,3)
       
  c. Bereken de waarde(n) van p waarvoor de raaklijnen aan Kp in de snijpunten met de y-as loodrecht op elkaar staan.
       
3. De cardioïde

Gegeven is kromme K:  (x2 + y2 - 2x)2 = 4(x2 + y2)  die hiernaast getekend staat.
Kenners herkennen hierin uiteraard het Fryske Pompeblêd.

     
  a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van K met de coördinaatassen.
   

(0,0)(4,0)(0,2)(0-2)
  b. Bereken de helling van K in de snijpunten met de y-as.
   

-1/2 en 1/2
       
4. Gegeven is de kromme K door:   
(x2 + y2)2 - 4(x2 - y2) + 1 = 0  die hiernaast getekend staat.
Kenners herkennen hierin uiteraard..... twee eieren.

     
  a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van K met de coördinaatassen.
   

(±√(2±√3) , 0)
  b. Voor welk p heeft de lijn y = p precies twee snijpunten met K?
   

p = ±1/4√6
       
5. Gegeven is de kromme K door:    y2 (1 - x2) = (x2 + 2y - 1)2  die hiernaast getekend staat.

     
  a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van K met de coördinaatassen.
   

(±1,0)(0,1)(0,1/3)
  b. Leg uit hoe je aan de vergelijking direct kunt zien dat de kromme alleen kan bestaan voor  -1 ≤ x ≤ 1
     
       
6. Het folium van Descartes

Kromme K wordt gegeven door  x3 + y3 = 3xy
Hiernaast staat K getekend.

     
  a. Geef een vergelijking van de scheve asymptoot van K.
   

y = -x - 1
  b. Toon de symmetrie van K aan.
     
  c. Geef de coördinaten van de punten van K waar de raaklijn evenwijdig is aan een coördinaatas.
   
(0,0) (21/3, 41/3)
(41/3,21/3)
       
7. Kromme K wordt gegeven door  (x + 1)(x2 + y2) = 4x2
Hiernaast staat K getekend.

     
  a. Bereken de coördinaten van de snijpunten van K met de x-as
   

(0,0) en (3,0)
  b. Geef een vergelijking van de verticale asymptoot van K.
   

x = -1
       
       
8. Gegeven is de kromme K door:  2lnx = x(y - 2)2
Zie de schets hiernaast.
     
  a. Het lijkt erop dat x alleen waarden vanaf x = 1 kan aannemen.
Toon aan dat dat inderdaad zo is.
     
  b. Het lijkt erop alsof y = 2 symmetrie-as van K is.
Toon aan dat dat inderdaad zo is.
     
  c Bereken de coördinaten van de punten van K met een horizontale raaklijn.
       
9. De Duivelskromme

Kromme K wordt gegeven door:  y2(y2 - 4) = x2(x2 - 6)
     
  a. Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt  (√6,2)
     
  b. De lijn x = 4 snijdt kromme K in twee punten A en B.
Bereken de afstand AB.
     
  c. Geef de coördinaten van K waar de raaklijn evenwijdig aan de y-as is.
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)