© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1 a. y4 + 16x2 = 48 + 8y2

snijpunt x-as:   16x2 = 48  ⇒  x2 = 3  ⇒ x = ±√3 dus de punten  (√3, 0) en (-√3, 0)

snijpunt y-as:   y4 = 48 + 8y2
y4 - 8y2 - 48 = 0
(y2 - 12)(y2 + 4) = 0
y2 = 12  ∨  y2 = -4
y = ±√12  dus de punten  (0, √12) en (0, -√12)

4y3dy + 32xdx = 16ydy
32xdx = dy(16y - 4y3)
dy/dx = 32x/(16y - 4y³)

evenwijdig aan de x-as:  32x = 0 ⇒  x = 0  en dat geeft de punten  (0, √12) en (0, -√12) zie boven.

evenwijdig aan de y-as:  16y - 4y3 = 0
4y(4 - y2) = 0
y = 0  ∨   y = 2  ∨   y = -2
y = 0 geeft de punten  (√3, 0) en (-√3, 0)  (zie boven)
y = 2 geeft   16 + 16x2 = 48 + 32  ⇒  16x2 = 64 ⇒  x = ±2
y =-2 geeft  precies hetzelfde:  x = ±2
Dat zijn dus de punten  (2, 2)(-2, 2)(2, -2)(-2, -2)

delen door y4 :  1 + 16x2/y2 = 48/y4 + 8/y2
voor y naar oneindig geeft dat geen horizontale asymptoot

delen door x2:   y4/x2 + 16 = 48/x2 + 8
voor x naar oneindig  geeft dat geen verticale asymptoot  

       
  b. y = x  geeft:   y4 + 16y2 = p + 8y2
y4 + 8y2 - p = 0
y2 kun je nu met de ABC-formule uitrekenen:  y2 = (-8 ±√(64 + 4p))/2 
Dat geeft de volgende mogelijkheden:

y2 = 0  als  -8 + √(64 + 4p) = 0 ⇒  p = 0  en dan is er ιιn oplossing voor y  dus  q = 1
y2 > 0 als  √(64 + 4p) > 8 ⇒  p > 0  en dan zijn er twee oplossingen voor y  dus  q = 2
y2 < 0  als  √(64 + 4p) < 8   ⇒ p < 0  en dan zijn er geen oplossingen voor y  (als p < -16 zijn er zelfs niet eens oplossingen voor y2)  dus  q = 0
       
  c. De maximale y vind je als de helling 0 is: 
32x = 0 ⇒  x = 0  (zie boven) en dat geeft  y4 = p + 8y2
als  y = ±9, dan geeft dat   6561 = p + 648  ⇒  p = 5913
De maximale x vind je als de helling ∞ is: 
16y - 4y3 = 0  ⇒  4y(4 - y2) = 0  ⇒  y = 0  ∨   y = 2  ∨   y = -2

y = 0 geeft  16x2 = 5913 ⇒   x2 = 369,5625
y = ±2 geeft  16 + 16x2 = 5913 + 32  ⇒  x2 = 370,5625
Die laatsten geven de grootste waarden voor x:  bereik  [-√370.5625, √370.5625]
       
2. a. x2 - 3y2 + 2x + 18y - 24 = 0

x = 0
-3y2 + 18y - 24 = 0
y2 - 6y + 8 = 0
(y - 4)(y - 2) = 0
y = 4  ∨  y = 2  en dat zijn de snijpunten  (0, 2) en (0, 4)

y = 0
x2 + 2x - 24 = 0 en dat heeft geen oplossingen.
(x - 4)(x + 6) = 0
x = 4 ∨  x = -6   en dat zijn de snijpunten  (4, 0) en (-6, 0)

2xdx - 6ydy + 2dx + 18dy = 0
dx(2x + 2) = dy(6y - 18)
dy/dx = (2x + 2)/(6y - 18)

evenwijdig aan de x-as:  2x + 2 = 0  ⇒  x = -1
1 - 3y2 - 2 + 18y - 24 = 0
-3y2 + 18y - 25 = 0
y = (-18 ±√(324 - 300))/-6 ≈ 3,81  of  2,18  dus  (-1, 3.81)  en  (-1, 2.18)

evenwijdig aan de y-as:  6y - 18 = 0 ⇒  y = 3
x2 - 27 + 2x + 54 - 24 = 0
x2 + 2x + 3 = 0  en dat heeft geen oplossingen

x2 - 3y2 + 2x + 18y - 24 = 0
delen door x2:   1 - 3y²/x² + 2/x + 18y/x² - 24/x² = 0
dat geeft geen horizontale asymptoten als x naar oneindig gaat.
maar wel  1 - 3(y/x)2 = 0  ⇒  y/x = ±√(1/3) dus er zullen scheve asymptoten met helling  ±√(1/3)  zijn
Die hebben vergelijking  y = √(1/3)x + b  en   y = -√(1/3)x + b
    invullen:  x2 - 3(√(1/3)x + b)2 + 2x + 18(√(1/3)x + b) - 24 = 0
x2 - x2 - 2√(1/3)xb - 3b2 + 2x + 6√3x + 18b - 24 = 0
Deel alles door x:   -2√(1/3)b - 3b2/x  + 2 + 6√3 + 18b/x - 24/x2 = 0
Als x naar oneindig gaat geeft dat  -2/3√3b + 2 + 6√3 = 0
-2b + 2√3 + 18 = 0
b = √3 + 9
       
       
  b. punt (-1 + a, 3 + b):
(-1 + a)2 - 3(3 + b)2 + 2(-1 + a) + 18(3 + b) - 24 = 0
1 - 2a + a2 - 27 - 18b - 3b2 - 2 + 2a + 54 + 18b - 24 = 0
a2 - 3b2 + 2 = 0

punt (-1 - a, 3 - b):
(-1 - a)2 - 3(3 - b)2 + 2(-1 - a) + 18(3 - b) - 24 = 0
1 + 2a + a2 - 27 + 18b - 3b2 - 2 - 2a + 54 - 18b - 24 = 0
a2 - 3b2 + 2 = 0

Dat geeft dezelfde vergelijking, dus de kromme is symmetrisch ten opzichte van  (-1, 3)
       
  c.  x2 - 3y2 + px + 18y - 24 = 0
2xdx - 6ydy + pdx + 18dy = 0
dx(2x + p) = dy(6y - 18)
dy/dx = (2x + p)/(6y - 18)

snijpunten met de y-as:  x = 0
- 3y2 + 18y - 24 = 0 en dat zijn de punten  (0, 2) en (0, 4)
in (0, 2) is de helling  p/-6
in (0, 4) is de helling  p/6
die staan loodrecht op elkaar als  p/-6 • p/6  = -1
p2 = 36
p = ±6
       
3. a. (x2 + y2 - 2x)2 = 4(x2 + y2)

x = 0
y4 = 4y2
y2 (y2 - 4) = 0
y = 0 ∨  y = 2   ∨  y = -2  en de snijpunten zijn  (0, 0) en (0, 2) en (0, -2)

y = 0
(x2 - 2x)2 = 4x2 
x4 - 4x3 + 4x2 = 4x2
x3(x - 4) = 0
x = 0  ∨  x = 4  en de snijpunten zijn (0,0) en (4,0) 
       
  b. (x2 + y2 - 2x)2 = 4(x2 + y2)
2(x2 + y2 - 2x) • (2xdx + 2ydy - 2dx) = 8xdx + 8ydy

de snijpunten met de y-as zijn  (0, 2) en (0, -2)

dat geeft in (0, 2):   2 • 4 • (4dy - 2dx) = 16dy
32dy - 16dx = 16dy  en dat geeft  dy/dx = 1

dat geeft in (0, -2):   2 • 4 • (-4dy - 2dx) = -16dy
-32dy - 16dx = -16dy  en dat geeft  dy/dx = -1
       
4. a. (x2 + y2)2 - 4(x2 - y2) + 1 = 0 

x = 0
y4 + 4y2 + 1 = 0
y2 = (-4 ±√(16 - 4))/2 = -2 ± √3
maar die zijn beiden negatief, dus dat geeft geen oplossingen.

y = 0
x4 - 4x2 + 1 = 0
x2 = (4 ±√(16 - 4))/2 = 2 ± √3
x = √(2 ± √3)
dat geeft 4 snijpunten: (√(2 + √3), 0)  (√(2 - √3), 0)  (-√(2 + √3), 0)  (-√(2 -√3), 0)
       
  b. y = p heeft precies twee snijpunten op de plaatsen waar de helling nul is.
(x2 + y2)2 - 4(x2 - y2) + 1 = 0 
x4 + 2x2y2 + y4 - 4x2 - 4y2 + 1 = 0
4x3dx + 4xy2dx  + 4yx2 dy + 4y3dy - 8xdx - 8ydy = 0
dx(4x3 + 4xy2 - 8x) = dy(8y - 4yx2 - 4y3)

de helling is nul als  4x3 + 4xy2 - 8x = 0
4x(x2 + y2 - 2) = 0
x = 0  ∨  x2 + y2 = 2 
x = 0 heeft geen oplossing (zie vraag a)
x2 + y2 = 2   geeft x2 = 2 - y2 en dat kun je invullen in de vergelijking van K:
4 - 4(2 - 2y2) + 1 = 0
4 - 8 + 8y2 + 1 = 0
8y2 = 3
y = ±√(3/8)
dus  p = ±√(3/8)
       
5. a. y2 (1 - x2) = (x2 + 2y - 1)2  

x = 0
y2 = (2y - 1)2
y2 = 4y2 - 4y + 1
0 = 3y2 - 4y + 1
y =  (4 ±√(16 - 12))/6 = 1  of  1/3 en dat zijn de snijpunten  (0, 1)  en (0, 1/3)

y = 0
0 = (1 - x2)2
1 -  x2 = 0
x = 1 ∨  x = -1  en dat zijn de snijpunten  (1, 0) en (-1, 0)
       
  b. de rechterkant is een kwadraat, dus dat is altijd  ≥ 0.
dus moet de linkerkant ook  ≥ 0  zijn.
y2 is ook een kwadraat dus altijd  0
dus moet  (1 - x2)  ook   ≥ 0 zijn
dat is zo  als  x2  ≤ 1  dus als  -1 ≤ x ≤ 1
       
6. a. x3 + y3 = 3xy
delen door x3 :   1 + (y/x)3 = 3y/x²
als y en x beiden naar oneindig gaan,  dan gaat de rechterkant naar 0
dat geeft  (y/x)3 = -1
(y/x) = -1
de helling van de scheve asymptoot is -1 dus de scheve asymptoot heeft de vorm  y = -x + b

dat geeft  x3 + (-x + b)3 = 3x(-x + b)
x3 - x3 + 3x2b - 3xb2 + b3 = -3x2 + 3xb
deel alles door x2:    3b - 3b²/x + b³/x² = -3 + 3b/x
Als x naar oneindig gaat geeft dat   3b = -3  dus  b = -1
de scheve asymptoot is  y = -x - 1
       
  b. Vul het punt (y, x) in:   y3 + x3 = 3yx
dat is de zelfde vergelijking als de oorspronkelijke, dus de kromme is symmetrisch in y = x
       
  c. x3 + y3 = 3xy
3x2dx + 3y2dy = 3ydx + 3xdy
dx(3x2 - 3y) = dy(3x - 3y2)

de raaklijn is evenwijdig aan de x-as als 3x2 - 3y = 0
dat geeft  y = x2
invullen:  x3 + x6 = 3x3
0 = x3 • (2 - x3)
x = 0 ∨  x = 21/3
dat zijn de punten  (0,0) en  (21/3, 22/3)

de raaklijn is evenwijdig aan de y-as als 3x - 3y2 = 0
dat geeft  x = y2
invullen:  y6 + y3 = 3y3
y3 • (x3 - 2) = 0
y = 0 ∨  y = 21/3
dat zijn de punten  (0,0) en  (22/3, 21/3)
       
7. a. (x + 1)(x2 + y2) = 4x2
y = 0:   (x + 1)x2 = 4x2
x3 + x2 - 4x2 = 0
x2(x - 3) = 0
x = 0  ∨  x = 3 dus de snijpunten zijn  (0,0) en (3,0)
       
  b. (x + 1)(x2 + y2) = 4x2
x3 + xy2 + x2 + y2 = 4x2
deel alles door y2:    x³/y² + x + x²/y² + 1 = 4x²/y²
als y naar  oneindig gaat staat er  x + 1 = 0
de verticale asymptoot is de lijn x = -1
       
8. a. 2lnx = x(y - 2)2
Dat x > 0 kun je al wel zien aan de logaritme lnx want die bestaat anders niet.

2lnx/x = (y - 2)2
Omdat (y - 2)2 altijd positief moet zijn, moet lnx/x ook altijd positief zijn (anders bestaat y niet)

Maar tussen 0 en 1 is x positief, en lnx negatief, dus het quotiλnt van die twee negatief. Daarom kan x ook geen waarden tussen 0 en 1 aannemen.
       
  b. Vul voor y   2 + p in, dan staat er  2lnx = x(2 + p - 2)2 ⇒  2lnx = p2x
Vul voor y   2 - p in, dan staat er  2lnx = x(2 - p - 2)2  ⇒  2lnx = (-p)2x = p2x
Dat is dezelfde vergelijking, dus dat geeft ook dezelfde x-waarden
       
  c. 2 • 1/x dx = 1 • (y - 2)2 dx + x • 2 • (y - 2)dy
dx • (2/x - (y - 2)2 ) = dy • (2x(y - 2))

De raaklijn is  verticaal als  2x(y - 2) = 0  en   2/x - (y - 2)2 Ή 0
Dat si zo als x = 0  ∨  y = 2
x = 0 vervalt (zie vraag a)
y = 2 geeft  2lnx = 0  dus  x = 1  en het punt  (1,2)

De raaklijn is horizontaal als   2/x - (y - 2)2 = 0
(y - 2)2 = 2/x   en dat kun je invullen in de vergelijking:  2lnx = x • 2/x
2lnx = 2
x = e
(y - 2)2 = 2/e  ⇒  y = 2 ±√(2/e)   en dat zijn de punten  (e,  2 ±√(2/e) )   
ongeveer  (2.72, 2.86) en (2.72,  1.14)
       
9. a. y4 - 4y2 =   x4 - 6x2 
4y3dy - 8ydy = 4x3dx - 12xdx
dy(4y3 - 8y) = dx(4x3 - 12x)
dy/dx = (4x³ - 12x)/(4y³ - 8y) 
x = √6 en y = 2  geeft dan   dy/dx = 12√6/16 = 3/4√6
De raaklijn is  y = 3/4√6x + b  en gaat door  (√6, 2)
2 = 3/4√6 • √6 + b  ⇒   b = -21/2
De raaklijn is  y = 3/4√6 • x - 21/2
       
  b. x = 4:    y2 (y2 - 4) = 160
(y2)2 - 4y2 - 160 = 0
y2 =  (4 ±√656)/2 = 2 ±√164
omdat y2 positief is geldt alleen  y2 = 2 + √164
dan is  y = ±√(2 + √164)
De afstand daartussen is  2√(2 + √164)
       
  c. zie a) voor de afgeleide
evenwijdig aan de y-as betekent  4y3 - 8y = 0
4y(y2 - 2) = 0
y = 0  ∨  y = √2  ∨  y = -√2

y = 0 geeft  x = 0  ∨  x = ±√6  maar bij x = 0 is ook  4x3 - 12x = 0 dus dan is de helling 0/0.
Blijft over de punten  (√6, 0) en (-√6, 0)

y = ±√2  geeft  x2(x2 - 6) = -4
(x2)2 - 6x2 + 4 = 0
ABC-formule:    x2 = (6 ±√20)/2 = 3 ±√5
Dat geeft 4 mogelijkheden:  x = ±√(3 ±√5)
Dat geeft de punten   (±√(3 ±√5), ±√2)  dus dat zijn maar liefst 8 punten!

In totaal 10 oplossingen:
(√6, 0)
(-√6, 0)
(√(3 +√5), √2)
(√(3 -√5), √2)
(-√(3 +√5), √2)
(-√(3 -√5), √2)
(√(3 +√5), -√2)
(√(3 -√5), -√2)
(-√(3 +√5), -√2)
(-√(3 -√5), -√2)
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)