Gekoppelde afgeleides.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
     

impliciet differentiëren
 
Er zijn erg veel (vooral natuurkundige) problemen waarbij je de afgeleide van de ene grootheid wilt weten als functie van de afgeleide van een andere grootheid.
Dat zijn zulk soort vragen:
•  Hoe snel neemt de luchtdruk toe op het moment waarop de temperatuur afneemt met  5ºC per minuut?
•  Wat is mijn valsnelheid op het moment dat mijn hoogte 1200 m is?
 

Het gaat dus steeds om een verband tussen twee afgeleides, of tussen een afgeleide en een andere grootheid. Het raadsel is eigenlijk elke keer:  welke twee?

Voorbeeld 1.
We pompen lucht in een ballon met een snelheid van 5 liter/minuut. Hoe snel neemt de straal van de ballon toe als de straal gelijk is aan 80 cm?

De grootheden waar het hier om gaat zijn de straal r(t) en het volume V(t).
Omdat er 5 liter per minuut in de ballon gepompt wordt weten we dat V'(t) = 5.
Maar tussen V en r geldt de formule  V = 4/3πr3
Beiden differentiëren (naar t) geeft  V' = 3 • 4/3πr2 ∙ r' = 4πr2 ∙ r'
Invullen (met r = 80 cm  = 8 dm) :   5 =  4π ∙ 82 ∙ r'  en daaruit volgt dat  r' = 0,0062  dm/min
       
Voorbeeld 2.
Een 15 meter lange ladder staat tegen een muur, waarbij het punt waar de ladder de grond raakt 12 meter vanaf de muur is.
Dat onderste punt van de ladder wordt met een snelheid van 0,3 m/sec naar de muur toe geduwd (vanaf t = 0, t in seconden).
Daardoor beweegt het bovenste punt van de ladder langs de muur omhoog.
Hoe snel beweegt dat punt omhoog op t = 2?

Het gaat hier om de grootheden
x (horizontale afstand bodempunt) en y (verticale afstand toppunt)

Uit de opgave volgt x' = -0,3
Pythagoras geeft  x2 + y2 = 152 = 225
impliciet differentiëren:   2x ∙ x'  + 2y ∙ y'  = 0
Na 2 seconden is x = 12 - 2 • 0,3 = 11,4   en dan is y = √(152  - 11,42 ) ≈  9,7488
Invullen:   2 • 11,4 • -0,3  + 2 • 9,7488 • y'  = 0  en daaruit volgt vrij eenvoudig dat y' =  0,35
Het bovenste punt van de ladder beweegt op t = 2 met een snelheid van  0,35 m/sec naar boven.
       
Voorbeeld 3
Uit een kegelvormige watertank lekt water met een snelheid van 20 l/min. De hoogte van de kegel is 10 m, en de diameter van het grondvlak is  8 m.
Twee vragen:

a.  hoe snel verandert de waterhoogte als het water 6 m hoog staat?
b.  hoe snel verandert de straal van het bovenoppervlak als het water 6 m hoog staat?


 

     
a. Het gaat om het verband tussen het volume (V) en de hoogte (h)
V = 1/3πr2∙h  en we weten dat V ' = -20
Helaas staat er nu ook nog een variabele r in de formule. Die zullen we eerst ook in h moeten omzetten
Dat kan gelukkig.
Uit de gelijkvormige driehoeken van de figuur volgt dat  r/h = 4/10  ofwel  r = 0,4h
Dan is V = 1/3π(0,4h)2 ∙ h ≈  0,1676 h3
Impliciet differentiëren geeft dan  V'  = 3 ∙ 0,1676h2 ∙ h´
Invullen:   -20 = 0,5027∙ 602 ∙ h'     (de 60 ipv 6 omdat we alles in dm berekenen).
Dat geeft  h'  =  -0,0011.
De waterhoogte verandert  dus met 0,0011 dm/min  
       
b. Het gaat om het verband tussen de straal van het bovenoppervlak (r) en de hoogte (h).
Uit de figuur (gelijkvormige driehoeken) kun je zien dat  h/r = 10/8
Dan is r = 0,8h  en dus   r ' = 0,8 h'
Maar de vorige vraag gaf al dat  h' = -0,0011 dm/min
Dan is dus r' = 0,8 ∙ -0,0011 = -0,00088 dm/min.
       
       
         
  OPGAVEN
         
1. Twee mensen staan op een afstand van 80 meter naast elkaar in de punten A en B. Eén van beiden gaat vanaf op t = 0 naar het noorden lopen met een snelheid zodanig dat de hoek α in de figuur hiernaast toeneemt met 0,1 rad/min.

Hoe snel (in m/min) verandert hun onderlinge afstand als α = 0,4 rad?

         
2. Een goot is 6 meter lang en de beide uiteinden hebben de vorm van een gelijkbenige driehoek met een hoogte van 50 cm en een basis van 2 meter.
Doordat het regent wordt de goot gevuld met een hoeveelheid van 0,6 liter per minuut.
De afvoer is verstopt dus de goot loopt niet leegt.
Hoe snel neemt de waterhoogte h toe op het moment dat het water 40 cm hoog in de goot staat?

         
3. Een persoon loopt weg van een lantaarnpaal met een snelheid van 2 meter per seconde.
De lantaarnpaal is 5 meter hoog, en de persoon zelf is 1,60 meter hoog.
     
  a. Met welke snelheid beweegt het topje van zijn schaduw weg van de lantaarnpaal op het moment dat de persoon 3 meter van de lantaarnpaal af is?
         
  b. Met welke snelheid beweegt het topje van zijn schaduw weg van de persoon op het moment dat de persoon 3 meter van de lantaarnpaal af is?
         
4. Twee fietsers staan 300 meter uit elkaar.
Fietser A gaat naar het Noorden fietsen met en snelheid van 20 km/uur, en fietser B gaat naar het zuiden fietsen met een snelheid van 15 km/uur.
Hoe snel verandert hun onderlinge afstand na 20 minuten?

         
5. Twee variabele weerstanden R1 en R2 zijn parallel geschakeld.
R1 neemt constant toe met  0,3Ω/min en R2 neemt constant af met 0,6Ω/min.
Voor de totale weerstand R geldt:

 

   
  Op een bepaald moment is  R1 = R2.
Hoe snel neemt R op dat moment toe of af?		    
         
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)