Gedeeltelijk DifferentiŽren.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Wat is nou weer "Gedeeltelijk DifferentiŽren" ?
Je differentieert of je doet het niet.

Punt uit.

Of moet je als je ermee bezig bent dan halverwege stoppen of zo??

Niets van dat alles.

Kijk we weten al lang wat de eerste afgeleide van een functie is (gewoon ťťn keer differentiŽren)
En we weten ook wat de tweede afgeleide is (twee keer differentiŽren)
En de derde afgeleide is uiteraard drie keer differentiŽren.

Maar wat zou bijvoorbeeld  "een half keer differentiŽren" zijn?  Of  "1,4 keer differentiŽren?"

Als we de eerste afgeleide noteren als f (1)(x)  en  de tweede afgeleide als  f (2)(x) enzovoorts, dan is de vraag van vandaag:

       

Hoe groot is  f (p)(x)  met p een breuk ????

       
Een eerste poging.

Er is ťťn functie die zich er erg goed voor leent om dit probleem te onderzoeken, en dat is de functie  f(x) = eax
Kijk maar naar de volgende regelmaat:

f
'(x) = aeax  en  f ''(x) = a2eax  en  f (3)(x) = a3eax  en .... en......  f (n)(x) = aneax 

Wiskundigen zijn GEK op regelmaat!!!!

Daarom gaan we proberen of dat ook voor breuken kan gelden:   

       

f (x) = eax   geeft  de   pde  afgeleide:  f (p)(x) = apeax  

       
Hiernaast zie je dat dat in grafieken redelijk lijkt te kloppen.
De "gewone" (gehele) afgeleiden zijn rood getekend, en daar precies tussenin liggen de blauwe afgeleiden f (0,5)(x)  en  f(1,5)(x).

Klinkt logisch toch?

En nu kunnen we ook de gedeeltelijke afgeleide van combinaties van machten van e maken. Zo zal de "halfde afgeleide" van  2e2x  + e3x  gelijk zijn aan:

f
(0,5)(2e2x  + e3x) = 2√2 ē e2x  + √3 ē e3x

Hieronder zie je deze  f,   f ' en  f 0,5  Het lijkt allemaal redelijk te kloppen.

       

   
       
Kennen we zulke combinaties van e-machten?
       
Jazeker! Met complexe getallen wel!!

Die zijn we immers tegengekomen bij sinx en cosx
Laten we die dan ook maar gedeeltelijk gaan differentiŽren, neem bijvoorbeeld  f(z) = cosz
       

Geeft:

       
Maar e0,5πi = cos1/2π + i ē sin1/2π = i
Dus dan geldt ook:   ip = (e0,5πi)p = e0,5πip en op dezelfde manier  (-i)p = e-0,5πip 
= 1/2 (cos(1/2πp + z) + isin(1/2πp + z) + cos(-1/2πp - z) + isin(-1/2πp - z))

Maar omdat cos(-x) = cosx  tellen die cosinussen bij elkaar op, en omdat sin(-x) = -sinx vallen die sinussen weg.
Dat geeft dan uiteindelijk:  f (p) (z) = cos(z + 1/2πp)
       

f(x) = cosx   ⇒  f (p)(x) = cos(x + 1/2πp)

       
Om cosz gedeeltelijk te differentiŽren moet je de grafiek een gedeelte van 0,5π naar links schuiven. Neem p = 1 en je krijgt als afgeleide cos(x + 0,5π) en dat is inderdaad precies gelijk aan -sinx
En als je precies dezelfde berekening voor sinz maakt dan krijg je:
 

f(x) = sinx   ⇒  f (p)(x) = sin(x + 1/2πp)

       

       
       
Andere functies.
       
Andere functies zijn wat lastiger gedeeltelijk te differentiŽren. Er zijn twee mogelijke manieren van aanpak.
Je kunt een functie door middel van Fourieranalyse gaan schrijven als de som van sinussen en cosinussen en die dan als hierboven differentiŽren. Dat is niet makkelijk, en heeft bovendien als nadeel dat de Fourier-getransformeerde functie alleen te maken is voor een functie die periodiek is, dus bij een simpele functie als f(x) = x moet je kiezen voor welk stuk van de grafiek je de (gedeeltelijke) afgeleide wilt maken; het kan in het algemeen niet voor de hele grafiek in ťťn keer! 

Je kunt het ook met de basisformule voor de afgeleide functie gaan proberen.
Die is:

       
Deze formule nog een keer toepassen geeft voor de tweede afgeleide (de afgeleide van de afgeleide f ' ):
       
Nou, vooruit dan maar:  nog een keer differentiŽren voor f (3)(x):
 
       
Ik hoop dat je de regelmaat ziet.
Daar in de teller staat steeds een dx minder, afwisselend een + en een - teken, en de getallen die verschijnen zijn de binomiaalcoŽfficiŽnten (nCr).
Dat geeft voor  f (n)(x):
Die plussen en minnen kun je handig aangeven als machten van -1, en deze hele formule ziet er natuurlijk wel erg mooi uit als je er een somteken voor gebruikt:
       

       
Mooi hť?
Laten we de formule voor de grap even uittesten op de tweede afgeleide van x3
Dat geeft voor de teller van  f (2)(x):   (x + 2dx)3 - 2(x + dx)3 + x3  = x3 + 6x2dx + 12xdx2 + 8dx3 - 2x3 - 6x2dx - 6xdx2 - 2dx3 + x= 6xdx2 + 6dx3
Delen door dx2  en dan dx naar nul laten gaan geeft inderdaad (gelukkig maar) precies als tweede afgeleide f ''(x)= 6x

En nu naar breuken....

Als je nu voor n een breuk neemt en probeert de bovenstaande formule te gebruiken dan kom je twee problemen tegen.
Het eerste probleem is:  "Hoe behandel je een somteken met als bovengrens een breuk?" en het tweede probleem is" "Wat zijn de binomiaalcoŽfficiŽnten als er breuken in staan?"
       
Probleem 1.
Probleem 1 is op te lossen door te kijken waar de n nou eigenlijk vandaan kwam.
In de formule voor de afgeleide gebruikten we de functiewaarden  f(x), f(x + dx), f(x + 2dx) , ..., f(x + ndx), en we sommeerden dat van 0 tot en met n.
       
Probleem 2.
Deze is nogal wat moeilijker op te lossen. Je moet er eerste deze les over de Gamma functie  G(x) voor bestuderen.

 

(rest volgt later...)

       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)