© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Friedman toets.
       
De Friedman toets kun je gebruiken als je meerdere (meer dan 2) metingen  van een continue variabele hebt, en je wilt weten of die metingen van elkaar verschillen. De variabele hoeft daarbij niet normaal verdeeld te zijn (het mŠg natuurlijk wel); de toets is parametervrij.

Stel dat er zes verschillende medische behandelingen zijn, bijvoorbeeld om de bloeddruk te verlagen, die men wil testen.  De onderzoeker besluit al om op elk van 8 patiŽnten elke behandeling een poosje uit te proberen en na afloop de bloeddruk(bovendruk) te meten. Dat geeft de volgende tabel met meetgegevens:  
       
  behandeling
1 2 3 4 5 6
patiŽnt 1 140 153 147 152 143 169
patiŽnt 2 155 162 165 143 154 170
patiŽnt 3 143 156 170 167 166 167
patiŽnt 4 138 156 177 175 170 154
patiŽnt 5 156 176 166 154 158 167
patiŽnt 6 166 145 153 156 160 176
patiŽnt 7 156 177 181 164 174 163
patiŽnt 8 145 146 153 162 171 165
       
(N.B. De Friedman toets werkt niet als er gegevens ontbreken. De tabel moet wel "helemaal vol" zijn. Als dat niet zo is, dan moet je de Skillings-Mack toets gebruiken).

De vraag is nu:  "Is er een behandeling die een  significant ander resultaat geeft dan de anderen?"

H0:  Er zijn geen verschillen tussen de behandelingen.
H1:  Er zijn wel verschillen tussen de behandelingen.

Nu maak je eerst per rij een rangorde. 
Dat geeft deze rangorden (1 = hoogste, 5  = laagste, bij gelijk stand delen we de scorepunten).
De totaalscore per behandeling staat in de onderste rij.
       
  behandeling
1 2 3 4 5 6
patiŽnt 1 6 2 4 3 5 1
patiŽnt 2 4 3 2 6 5 1
patiŽnt 3 6 5 1 2,5 4 2,5
patiŽnt 4 6 4 1 2 3 5
patiŽnt 5 5 1 3 6 4 2
patiŽnt 6 2 6 5 4 3 1
patiŽnt 7 6 2 1 4 3 5
patiŽnt 8 6 5 4 3 1 2

totaalscore S:

41 28 21 30,5 28 19,5
       
Friedman berekent nu de volgende P-waarde:
       

       
In dit geval is   n =  8  en  k = 6  dus dat geeft: 
P = 12/336 ē  (412 + 282 + 212 + 30,52 + 282 + 19,52 )  -  168  =  0,0357 ē 5000,5 - 168 = 10,51

Deze P-waarde volgt voor grote waarden van n (n > 13) of k  (k > 5) een χ2-verdeling  met aantal vrijheidsgraden df = k - 1  (ťťn van beide voorwaarden is al voldoende).
In dit geval is dat zo (immers k > 5).  Neem bijvoorbeeld significantieniveau  α = 0,05 dan vinden we  inde  χ2-tabel (voor df = 5) een kritieke waarde voor P van  11,1.  Onze meetwaarde (10,51) is kleiner dus we mogen H0  niet verwerpen:  er is GEEN significant verschil tussen de behandelingen.

Voor te kleine waarden van n en k moet je onderstaande tabel gebruiken om de kritieke P-waarde te vinden.
       
k = 3
n α = 0,10 α = 0,05 α = 0,01
3 6,00 6,00 -
4 6,00 6,50 8,00
5 5,20 6,40 8,40
6 5,33 7,00 9,00
7 5,43 7,14 8,86
8 5,25 6,25 9,00
9 5,56 6,22 8,67
10 5,00 6,20 9,60
11 4,91 6,54 8,91
12 5,17 6,17 8,67
13 4,77 6,00 9,39
4,61 5,99 9,21
 

k = 4

n α = 0,10 α = 0,05 α = 0,01
2 6,00 6,00 -
3 6,60 7,40 8,60
4 6,30 7,80 9,60
5 6,36 7,80 8,96
6 6,40 7,60 10,00
7 6,26 7,80 10,37
8 6,30 7,50 10,35
6,25 7,82 11,34
 

k = 5

n α = 0,10 α = 0,05 α = 0,01
3 7,47 8,53 10,13
4 7,60 8,80 11,00
5 7,68 8,96 11,52
7,78 9,49 13,28
       
       
  OPGAVEN
       
1. Bij een turnwedstrijd zijn er vier juryleden die 8 turnsters een scorecijfer bij hun oefening aan de rekstok geven.
De resultaten zijn:
       
 
turnster jurylid 1 jurylid 2 jurylid 3 jurylid 4
1 8,4 7,4 6,2 8,7
2 7,6 5,3 7,7 8,9
3 5,4 6,7 7,5 9,0
4 6,6 7,8 6,9 6,8
5 6,5 5,8 5,8 5,8
6 6,9 8,2 8,1 7,7
7 8,3 8,3 7,3 5,9
8 9,1 7,9 8,2 8,6
       
  Onderzoek met een significantieniveau van 5% of er tussen de verschillende juryleden een verschil is in de waardering.
     
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)