Vergroten en verkleinen.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Laten we beginnen met een vierkant.....

Hoezo saai?

Wat is er mis met een vierkant?
Sommige van mijn beste vrienden zijn vierkanten!
Ok, ik geef het toe, het vierkant hiernaast is wel een beetje klein.

   
Vooruit dan maar, om jou een plezier te doen zal ik het vergroten.
Weet je wat, ik maak alles dubbel zo groot.
Als ik alle zijden dubbel zo groot maak, en alle hoeken 90 laat, dan heb ik hetzelfde wr een vierkant, maar nou twee keer zo groot.

   
Dan zijn alle lijnen in dat vierkant, zoals de rode, gele en blauwe hiernaast, k dubbel zo groot geworden. Wiskundigen noemen dit een "vergroting met factor 2"
 

vergroting met factor  k    alle lengtes  k  keer zo groot

 

En toch is niet lles aan dat tweede vierkant dubbel zo groot als aan het eerste......
Kijk maar eens naar de oppervlakte ervan! Die is niet twee keer zo groot, maar vier keer!

Stel bijvoorbeeld dat het oorspronkelijke vierkant 3 bij 3 was (dus oppervlakte 9 had), dan is het vergrote vierkant 6 bij 6 en heeft oppervlakte 36. Dat is inderdaad vier keer zo groot.
En als het vierkantje met factor 3 vergroot wordt, dan zou het 9 bij 9 worden, en een oppervlakte 81 krijgen:  negen keer zo groot. In het algemeen; stel dat de zijden z zijn, dan is de oppervlakte z2
Als we de zijden met factor k vergroten dan worden ze kz. Dus dan wordt de oppervlakte kz kz = k2 z2 en dat is k2 keer zo groot als de oorspronkelijke oppervlakte.
   
vergroting met factor  k    alle oppervlaktes  k2  keer zo groot
   
trouwens, ook als k tussen 0 en 1 in zit, dan hebben we te maken met een verkleining in plaats van een vergroting, maar dan blijft deze regel uiteraard gelden. We hebben in de "afleiding" ervan immers nergens gebruikt hoe groot k is?
   
Hoe zit dat met andere figuren?  
   
De regel geldt ook voor cirkels!
Stel dat ik een cirkel vergroot met factor k. Dan worden alle lengtes k keer zo groot, dus ook de straal r (en trouwens ook de omtrek, want die is 2πr en als r vervangen wordt door kr dan wordt de omtrek 2πkr en dat is k  keer zo groot).
Maar de oppervlakte is πr2  en dat wordt dan  π (kr)2 = π k2 r2 = k2 πr2
Inderdaad alweer k2 keer de oude omtrek.
 
De regel geldt ook voor de foto van mijn oma hiernaast!
Als ik die zou vergroten met factor k dan wordt haar oppervlakte k keer zo groot.
Dat kun je snel z beredeneren: stel dat ik haar oppervlakte verdeel in allemaal mini-vierkantjes.

Als ik die maar klein genoeg kies dan geven die samen haar oppervlakte. Maar bij vergroten met factor k worden al die vierkantjes k keer zo groot, dus hun oppervlaktes worden allemaal k2 keer zo groot.

Dus de totale oppervlakte van al die vierkantjes samen ook!!!

En met deze redenering geldt dat dus voor lke figuur.

   
't Is natuurlijk niet toevallig dat er in de oppervlakteformules steeds twee keer een lengte voorkomt. Als die beide lengtes k keer zo groot worden, dan wordt de oppervlakte vanzelf  k2 keer zo groot. Kijk maar:
rechthoek:   l b  wordt  kl kb = k2 (lb)
driehoek:    1/2 b wordt  1/2 kb kh = k (1/2 b h)
en ga zo maar door.....

Eigenlijk is dat natuurlijk ook de reden dat we een lengte uitdrukken in meter (m) en een oppervlakte in vierkante meter (m2).  Zo vind ik het daarom ook altijd weer raar dat er leerlingen zijn die zeggen: "Meneer, wat was ook al weer de formule voor de oppervlakte van een cirkel? πr2  of  2πr.......?".  Na het bovenstaande hoop ik dat je het logisch vindt dat dat wel πr2 met zijn, immers dat is een formule met twee keer een lengte erin, dus die beschrijft een oppervlakte. Die andere formule heeft maar n lengte en beschrijft dus........ precies!...... Een lengte!!
   
Inhoud.
   
Natuurlijk kun je ook ruimtelijke figuren vergroten met factor k door alle lengtes k keer zo groot te maken. Wij weten intussen al dat de oppervlakte van de figuur dan k2 keer zo groot zal worden. Hoe zit het met de inhoud? Het zal je hopelijk na het voorafgaande niet verbazen dat die wordt vermenigvuldigd met factor k3.
Een inhoud is immers in  kubieke meter (m3)?  Reken het zelf maar na:  een kubus van 3 bij 3 bij 3 heeft inhoud 27,  en een dubbel zo grote kubus (van 6 bij 6 bij 6) heeft inhoud 216. Dat laatste is 8 keer zo groot  inderdaad een factor 23.

Samengevat:
   
Een figuur vergroten met factor k:

lengtes worden  k  keer zo groot
oppervlaktes worden  k2  keer zo groot
inhouden worden  k3  keer zo groot.
   
Voorbeeld 1.
 
De gemeente Rotterdam wil graag laten zien dat de grootte van de haven (het aantaal kg goederen dat verwerkt is) de afgelopen 50 jaar verdubbeld is. En dat doen ze door een twee plaatjes van een schip te laten zien waarvan alle afmetingen dubbel zo groot zijn geworden:

"Niks aan de hand, puur eerlijk beeld van de werkelijkheid," zeggen de reclamejongens van Rotterdam tegen ons. We kunnen ze voor een rechter misschien inderdaad niet aanklagen, maar toch: als je alle afmetingen van een figuur dubbel zo groot maakt, dan wordt de inhoud 8 keer zo groot. En met hoeveelheid goederen die verwerkt worden associren wij nou eenmaal de inhoud van een schip!

Hoeveel keer zo groot zou je de afmetingen moeten maken om wl een eerlijk plaatje te krijgen (dus een boot waarvan de inhoud het dubbele is)?

   
Als je een factor k kiest voor de lengtes, dan is dat voor de inhoud een factor k3. In dat geval moet gelden dat k3 = 2.
Dan is k = 21/3 ≈ 1,26
Kortom: je moet alle afmetingen 1,26 keer zo groot maken.
Dat is hiernaast gebeurd.

Zoals je ziet een stuk minder spectaculair dan eerst.

Maar wl eerlijker........
 

   
Voorbeeld 2.

Ik ga een kubus zoveel vergroten dat de oppervlakte 5 keer zo groot wordt. Hoeveel keer zo groot wordt de inhoud dan?

Als de oppervlakte 5 keer zo groot wordt, dan geldt dus  k2 = 5,  dus k = √5.
Dan is k3 =  (√5)3 ≈ 11,18.
De inhoud wordt dus ongeveer 11,18 keer zo groot.
   
   
  OPGAVEN
   
1. Als je in een piramide een horizontaal vlak wilt aanbrengen, zodat dat vlak de piramide in twee delen met gelijke inhoud verdeelt, op welk deel van de hoogte moet je dat dan doen?
     

20,63%

       
2. Een solide metalen bol met inhoud 1 liter wordt in 500 kleinere bolletjes met inhoud 2 ml omgesmolten. Hoeveel keer zo groot wordt de totale oppervlakte van al die bolletjes samen dan vergeleken met de oppervlakte van de oorspronkelijke bol?  Geef een berekening zonder formules voor de inhoud of oppervlakte van een bol te gebruiken.
     

7,94 keer

       
3 De staatsloterij gebruikt voor de reclame afbeeldingen van vissen die de jackpot voorstellen.
   
 

       
  De grote vis stelt de hoofdprijs van 27,5 miljoen voor, en de kleine de prijs van 5,5 miljoen. Zo te zien zijn de vissen een vergroting/verkleining van elkaar.
Onderzoek of de verhoudingen tussen de inhoud van de vissen inderdaad klopt met het geldbedrag dat zij voorstellen.
Als dat niet zo is, teken dan de kleine vis op een formaat dat wl klopt.
       
4. De hoeveelheid energie die een beest in de winter nodig heeft is evenredig met zijn inhoud. De hoeveelheid warmte die hij verliest is evenredig met zijn oppervlakte.
Leg wiskundig uit waarom grotere dieren het in de winter in het algemeen makkelijker hebben dan kleinere.
Leg ook uit waarom een olifant grote oren geeft om in de zomer zich koel te wapperen.
       
5. In een kubus met ribben 8 cm wordt een kegel gezet waarvan het grondvlak een cirkel met straal 4 cm is. De hoogte van de kegel is echter groter dan 8 cm zodat een deel van de kegel boven de kubus uitkomt.

     
  a. Hoe hoog moet de totale kegel zijn als 40% van de inhoud buiten de kubus ligt?
   

30,396 cm

  b. Als de hoogte van de hele kegel gelijk is aan 12 cm, hoeveelste deel van de oppervlakte van de kegelmantel bevindt zich dan binnen de kubus?
   

  8/

 
       
6. Een regelmatige negenhoek met zijden van 4 cm heeft oppervlakte van ongeveer 98,91 cm2.
Hoe groot moeten de zijden van een regelmatige negenhoek zijn om oppervlakte 1000 cm2 te krijgen?
     

12,72 cm

       
7. De driehoek hiernaast heeft oppervlakte 80 en is in vijf even brede stroken verdeeld. Bereken de oppervlakte van de tweede strook van onderen af.

     

22,4

       
8. Iemand koopt op de rommelmarkt de serie van drie gelijkvormige vazen hiernaast.
De grootste vaas heeft hoogte 24 cm en inhoud 1,6 liter.
De middelste vaas heeft een oppervlakte van 250 cm2
De kleinste vaas heeft een inhoud van 0,6 liter en een oppervlakte van 180 cm2.

Bereken de hoogte van de middelste vaas.
     

20,4 cm

       
9. Een zandloper bestaat uit twee gelijkvormige kegels met elk hoogte 10 cm. De andere afmetingen zijn niet bekend. Als de zandloper nt is omgedraaid komt het zand tot halverwege de hoogte van de bovenste kegel.

Hoe hoog zal het zand dan in de onderste kegel staan als alles omlaag is gestroomd?

       
     

0,4353 cm

       
10. In een balk van 3 bij 3 bij 6 staat een piramide zoals in de linkerfiguur hiernaast is getekend.
Als de balk door een blauw horizontaal vlak in twee gelijke delen wordt verdeeld, dan wordt de piramide ook in twee delen verdeeld.
     
  a. Wat is de verhouding van de inhoud van die twee delen?
     
  b. Leg duidelijk uit waarom die verhouding niet afhangt van de plaats van de top van de piramide in het bovenvlak van de balk.
       
 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)