h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Exacte waarden voor sinus en cosinus.
Voor bijna alle hoeken α mag je sinα en cosα wel afronden, maar er zijn er een paar die je exact hoort te weten.
Die volgen namelijk nogal rechtstreeks uit Pythagoras.
Hiernaast staat een gelijkzijdige driehoek getekend. Alle zijden zijn 1, en de hoeken zijn 60. Teken de hoogtelijn CM, dan is AM = MB = 1/2 en de hoeken bij C zijn 30.
Pythagoras levert op dat CM2 = AC2 - AM2 = 1 - 1/4 = 3/4
Dus CM = √3/4 = √3/√4 = √3/21/2√3

In driehoek AMC kun je nu met sos-cas-toa ontdekken dat:
 
sin60 = CM/AC = 1/2√3
cos60 = AM/AC = 1/2  
tan60 = CM/AM = √3
sin30 = AM/AC = 1/2
cos30 = CM/AC = 1/2√3
tan 30 = AM/MC = 1/3√3

Hiernaast staat een gelijkbenige rechthoekige driehoek getekend met rechthoekszijden 1 (je geo-driehoek, zeg maar). De schuine zijde is dan (Pythagoras):  √(12 + 12 ) = √2

sos-cas-toa levert dan op, dat:

sin 45 = 1/√2 = 1/2√2
cos 45 = 1/√2 = 1/2√2
tan 45 = 1/1 = 1

Leer de volgende exacte-waarden-tabel uit je hoofd:
hoek α (radialen) 0 1/6π 1/4π 1/3π 1/2π
sin α 0 1/2 1/22 1/23 1
cos α 1 1/23 1/22 1/2 0
tan α 0 1/33 1 3
Met deze tabel n de eenheidscirkel in gedachten kun je ook de exacte waarden van sinus, cosinus en tangens voor een groot aantal hoeken die niet tussen 0 en 1/2π liggen berekenen.
Drie voorbeelden zullen hopelijk duidelijk maken hoe dat kan.
Voorbeeld 1. :  Bereken de exacte waarde van  sin(2/3π)
In de linkerfiguur hiernaast is in een eenheidscirkel een hoek van 2/3π getekend, en dus is de sin2/3π gelijk aan de lengte van het rode lijnstuk.

Maar in de rechterfiguur is er gespiegeld in de y-as. De hoek wordt dan 1/3π, en nu zie je dat  sin1/3π k gelijk is aan de lengte van het rode lijnstuk!
En sin1/3π staat wl in onze tabel.

Conclusie:   sin2/3π = sin1/3π = 1/2√3

 

Voorbeeld 2 :  Bereken de exacte waarde van cos(11/6π)
In de linkerfiguur hiernaast is in een eenheidscirkel een hoek van 11/6π getekend, en dus is de cos11/6π gelijk aan de lengte van het blauwe lijnstuk.

Maar in de rechterfiguur is er gespiegeld in de oorsprong. De hoek wordt dan 1/6π, en nu zie je dat cos1/6π k gelijk is aan de lengte van het blauwe lijnstuk!
En cos1/6π staat wl in onze tabel.
Het enige is, dat de cos11/6π negatief is, en cos1/6π positief.

Conclusie:   cos11/6π = -cos1/6π = -1/2√3

 

Voorbeeld 3:   Bereken de exacte waarde van tan(13/4π)
Deze keer geen eenheidscirkel. Je berekent de tangens van een hoek gewoon door van de sinus en de cosinus apart te bekijken of ze positief of negatief zijn:
1. Bereken de exacte waarde van:
a. sin(-1/3π)

-1/23

e. cos(12/3π)

1/2

i. sin(11/3π)

-1/23

b. sin(11/6π)

-1/2

f. tan(5/6π)

-1/33

j. cos(15/6π)

1/23

c. tan(11/3π)

3

g. tan(-2/3π)

3

k. cos(23/4π)

-1/2√2

d. cos(π)

-1

h. sin(13/4π)

-1/2√2

l. sin(-11/2π)

1

2. Hiernaast is driehoek ABC getekend met hoeken van 30- 60- 90 en zijden
AB = 1,  BC = 2 en AC = √3.
Lijn CP deelt de hoek van 30 in twee hoeken van 15
Vanaf P is een lijn PQ loodrecht op CB getekend.

a. Leg uit waarom CQ = √3
     
b. Driehoek PQB is gelijkvormig met driehoek CAB.
Gebruik die gelijkvormigheid, en het feit dat je de lengte van QB weet om de exacte waarde van de  lengte van PQ te berekenen.
   

23 - 3

c. Bereken de exacte waarde van de lengte van PC.
   

√(24 - 12√3)

d. Bereken sin15 en cos15 en tan15 exact.
         
3. Hiernaast en driehoek ABC getekend met hoeken van 45 - 45 - 90 en zijden 
AC = AB = 1 en  BC = √2.
Op zijde BC is een driehoek getekend met hoeken van  30- 60- 90.

     
a. Toon aan dat CD = 1/3√6  en  BD = 2/3√6
     
b. Toon aan dat DF = 2/3√3
     
c. Toon aan dat EF = 1 - 1/3√3
     
d. Toon aan dat sin(75) = 1/4√6 + 1/4√2
 

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)