Exacte Differentiaalvergelijkingen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     

 

partieel differentiëren

       
Stel dat jij leraar wiskunde bent, en je hebt zin om jouw klas eens een extra moeilijk differentiaalvergelijking te geven. Gewoon om te pesten (of om ze "scherp te houden" dat klinkt beter).

Dan zou ik het volgende doen:
Kies één of andere willekeurige functie van x en y, bijvoorbeeld  f(x, y) = (x2 + 1)y + x3
Bereken hiervan nu  df/dx
Bedenk daarbij dat die y's allemaal ook functies van x zijn, dus bij het differentiëren moet je de productregel en de kettingregel gebruiken.

Dat geeft in dit geval  df/dx = 2xy + (x2 + 1) • y' + 3x2  =   (x2 + 1) • y' + 2xy + 3x2
Als je nu stelt  df/dx = 0 dan staat er:  (x2 + 1) • y' + 2xy + 3x2 = 0  en dat is een lekkere lastige differentiaalvergelijking.

Maar ik weet de oplossing ervan al!
Immers  df/dx = 0  geeft  f = c dus de oplossing van mijn "moeilijke" differentiaalvergelijking is  (x2 + 1)y + x3 = c
c hangt daarbij natuurlijk van de beginvoorwaarde af.

Gelukt!

Ik geef mijn leerlingen de differentiaalvergelijking  (x2 + 1) • y' + 2xy + 3x2 = 0  zonder natuurlijk iets te verraden over
die f(x, y) die eraan te grondslag lag. Laat ze daar maar eens uit zien te komen......
Om dat te doen moeten ze één of andere manier vinden om alles wat ik hierboven heb gedaan in de omgekeerde richting uit te voeren....
       
Kan het in de omgekeerde richting?
       
Een differentiaalvergelijking die je kunt schrijven als  f(x, y) = 0  met één of andere nog mysterieuze functie  f  heet een Exacte Differentiaalvergelijking  (het wordt ook wel een Totale Differentiaalvergelijking genoemd).

We moeten nu twee vragen beantwoorden:
       

       
vraag 1:  Hoe weet je of een gegeven differentiaalvergelijking exact is?

Dat kun je het best zien door eens goed te kijken naar die afgeleide df/dx.
       

       
Daarin zie je dat  geldt:   d/dx f(x, y) = f/y y'  + f/x
Die vreemde kromme ∂'s  staan voor de partiële afgeleiden.
Dus als een differentiaalvergelijking er uitziet als    P • y'  + Q  = 0 dan weten we nu intussen dat, als het een exacte differentiaalvergelijking is, er een f bestaat zodat  P = f/y en Q = f/x

Maar dat betekent dat, als je P naar x differentieert, je hetzelfde moet krijgen als wanneer je Q naar y differentieert.
In beide gevallen differentieer je de functie f naar x én naar y.
Dat is een mooie test of een differentiaalvergelijking exact is:
       

P • y' + Q  = 0  is exact  als  P/x = Q/y

       
Toegepast op bovenstaand voorbeeld: 
∂P/x = /x(x2 + 1) = 2x   en  ∂Q/y = /y(2xy + 3x2) = 2x    dus dat klopt inderdaad!
       
         
1. Onderzoek of de volgende differentiaalvergelijkingen exact zijn
         
  a. y' (2yx3 - 1) + 3x2y2 + 4 = 0  

WEL exact

         
  b. y' • x2 y2  + x2 + xy3 = 0  

NIET exact

         
  c. y' (3 - 2yx) - 8x = y2  

WEL exact

         
  d. xy'  + 2y  - 4x3 = 0  

NIET exact

         
2. Bepaal de functie  f(x) zo, dat  de differentiaalvergelijking  (ycosx + 2xey )dx  + (f(x) + x2ey + 2)dy  = 0  exact is.
         
vraag 2:  Hoe vind je die mysterieuze functie f ?
       
Het antwoord op deze vraag ligt in het feit dat je die P en Q kent:    P = f/y en Q = f/x
Die kun je primitiveren!

Kies één van beiden (neem degene die het makkelijkst te primitiveren lijkt).
In bovenstaand voorbeeld hadden we  P = x2 + 1  en   Q = 2xy + 3x2
Laten we bijvoorbeeld P kiezen om te primitiveren.
Let goed op!
De integraal is met de variabele y, dus kun je x2 + 1 als een constante zien. Daar zit immers geen y in.
Verder is de primitieve altijd op een constante na bepaald, maar die constante kan hier een functie van x zijn (h(x)).
Immers om die P te maken zijn alle stukken met alleen x-en als constanten beschouwd en die zijn bij het differentiëren weggevallen.

De voorlopige stand is dus  f(x, y)(x2 + 1)y  + h(x)
Nu gaan we met deze voorlopige f de Q bepalen:   Q = f/x = 2xy + h'(x) en dat moet gelijk zijn aan  2xy + 3x2
Dat geeft  h'(x) = 3x2   en primitiveren geeft dan  h(x) = x3 + c.
Samen geeft dat  f(x, y) = (x2 + 1)y + x3 + c
De differentiaalvergelijking   (x2 + 1) • y'  + 2xy + 3x2 = 0  heeft dus als oplossing    (x2 + 1)y + x3  = c
(waarbij die c nog uit de beginvoorwaarde volgt).

tot slot een paar kleinigheidjes.
Merk nog op dat je in dit geval de oplossing altijd als een impliciete vergelijking krijgt (dat is een vergelijking met y en x door elkaar). Soms is het mogelijk daarvan te maken  y = ....   maar dat hoeft niet altijd te lukken.
 
   
Denk erom dat je de vergelijking eerst op nul herleidt voordat je de voorwaarden ∂P/x = ∂Q/y controleert
Zo is de vergelijking  (y - x)dx = (x + y)dy  NIET exact!
   
Als je een exacte differentiaalvergelijking met x of y vermenigvuldigt is het resultaat meestal niet meer exact. Je mag een exacte differentiaalvergelijking dus niet "om te vereenvoudigen"  met x of y vermenigvuldigen!

Omgekeerd kun je sommige differentiaalvergelijkingen die niet exact zijn door een geschikte vermenigvuldiging veranderen in exacte differentiaalvergelijkingen. Dat zagen we al in de les over de integrerende factor.
       
         
  OPGAVEN
         
3. Laat zien dat je in bovenstaand voorbeeld dezelfde oplossing vindt als je niet met P begint om te primitiveren, maar met Q.
   
4. Geef een oplossing van de volgende differentiaalvergelijkingen:
         
  a. y' • (2xy - 1) + y2 + 12x2 = 0  met  y(0) = -2
         
  b. 4xy - x2 + y' • (y + 2x2 + 1) = 0  met  y(1) = 0
         
  c.  2xy2 - 1 = 2(1 - x2y) • y'  met  y(0) = 1    
         
  d. yexdx + (ex + 2y)dy = 0  met  y(0) = 4
         
5. Toon aan dat   y/x • dx + (lnx - cosy) • dy = 0   WEL exact is, maar   ydx = x(lnx - cosy)dy = 0  NIET.
         
6.
Er is 1 kg chemische stof opgelost in 30 m3 water.
Om de concentratie te verhogen wordt per minuut 2 m3  bijgepompt van een oplossing met een concentratie van 0,5 kg/m3.
Neem aan dat de hoeveelheid stof op elk moment gelijkmatig over de hele inhoud verdeeld is. Dat noemen we een homogene oplossing.
Verder wordt  per minuut 1 m3 van de homogene oplossing weggepompt.
Noem de hoeveelheid stof  x(t)  en noem het volume V(t) met t de tijd in minuten.
         
  a. Toon aan dat dan geldt:    (t + 30)dx + (x - t - 30)dt = 0    
         
  b. Bepaal de hoeveelheid chemische stof  x  op het tijdstip t
         
7. Geef een oplossing van de volgende differentiaalvergelijkingen:
         
  a. (2x3 + 3y)dx = (3x + y - 1)dy = 0
         
  b. (y2exy² + 4x3)dx  + (2xyexy² - 3y2)dy = 0
         
  c. x3 + y2x + x2 = -x2y y'  
         
  d. (1 + y)dx = (1 + x)dy
         
  e. (4x3y3 + 1/x)dx + (3x4y2 - 1/y)dy = 0
         
  f. (1 + e2φ)dr  + 2re2φ dφ = 0
         
  g. 2xcos2ydx  + (2y - x2sin2y)dy = 0
         
8. Met welke functie  f(y) zou je de volgende differentiaalvergelijking kunnen vermenigvuldigen zodat hij exact wordt?

x2 + y2 = -(2xy + xy2 + 1/3x3) • y'
         
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)