De ellips.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

 
Deze les gaan we de conflictlijn van een punt F met een cirkel c bekijken, waarbij we dat punt F  binnen die cirkel kiezen.
We zoeken dus punten P waarvoor geldt dat de afstand tot punt F gelijk is aan de afstand tot de cirkel c.
 

d(P, c) = d(P, F)

 

Dat ziet er ongeveer zo uit als hiernaast.
Die cirkel heet natuurlijk de richtcirkel.

Die punten P liggen allemaal op de blauwe kromme. Die kromme noemen we een ellips.

Aan de stippellijn zie je dat de afstand van P tot de cirkel gelijk is aan de straal van de cirkel (r) min de afstand van P tot M.

Ofwel:  d(P, c) = r - d(P,M) = d(P, F).

Daaruit volgt  d(P,M) + d(P,F) = r


Maar wacht eens even....
Die ellips is een symmetrische figuur. Dus kun je spiegelen.....

Hiernaast is de ellips horizontaal neergelegd. Daarin is te zien dat je, als je een punt P van de ellips spiegelt in de lijn die midden tussen M en F doorloopt, je wéér een punt P' van de ellips krijgt.

Dus onze blauwe ellips hiernaast is óók de verzameling van punten die gelijke afstand hebben tot de gestippelde cirkel (met middelpunt F) en punt M.
 
M speelt dezelfde rol als F!
 
De punten M en F noemen we de brandpunten van de ellips (een brandpunt heet ook wel  focus).
We gaan nu die cirkel even weer vergeten en spreken over een ellips af:

Een ellips is de verzameling punten waarvoor de totale afstand tot twee brandpunten constant is.

En nu een formule graag!

Laten we die twee brandpunten op de x-as leggen in de punten (c,0) en  (-c, 0) zoals hiernaast getekend.
De ellips snijdt de x-as in  a en -a  en de y-as in b en -b.
We weten intussen al dat de afstanden van een willekeurig punt van de ellips tot F1 en F2 samen constant zijn.

Dat geldt dus ook voor punt P hiernaast.
Vanwege de symmetrie geldt  PF1 + PF2 = PF1 + F1Q = 2a

Dat betekent dat voor alle punten P van de ellips geldt:
d(P, F1) + d(P, F2) = 2a

   

Deze eigenschap maakt het mogelijk om op eenvoudige manier met twee punaises en een touwtje een ellips te tekenen.

Steek de punaises in de brandpunten, leg het touwtje eromheen, trek het strak, en tekenen maar!
   
Stel dat punt P = (x, y)
Omdat F1 = (-c, 0) en F2 = (c, 0)  geldt met Pythagoras dat: 
 
Samen moet dat gelijk zijn aan 2a:
Uit deze vergelijking kun je een veel mooiere vergelijking voor een ellips afleiden.
Dat mag je lekker zelf doen in de volgende opgave.
1. a. Begin met de vergelijking hierboven:

Breng nu de tweede wortel naar de rechterkant en kwadrateer vervolgens beide kanten.
Laat aan de rechterkant alleen de wortel staan en breng de rest naar de linkerkant.
Toon aan dat dat geeft: 
         
  b. Kwadrateer nu opnieuw beide kanten en breng alles met een x of y naar links, en de rest naar rechts.
Toon aan dat je dan krijgt:    x2 • (a2 - c2 ) + y2 • (a2) = a4 - a2c2
         
  c. Omdat voor elk punt van de ellips geldt  d(P,F1) + d(P,F2) = 2a geldt dat ook voor het punt P in de figuur hiernaast.

Toon aan dat daaruit volgt dat  c2 + b2 = a2  

  d. Toon aan dat de formule uit vraag b) met de informatie uit vraag c) ook te schrijven is als: 
 
 
En daarmee hebben we de vergelijking van een ellips gevonden...
MAAR....
We hebben daarbij wel stiekem een aanname gemaakt....
En die aanname zit hem in de tekening van de ellips.
Kijk maar eens wat er zou gebeuren als b > a:   dan kun je de Pythagoras van opgave 1c) helemaal niet gebruiken! 

Wat is er dan aan de hand?
Dat kun je het best zien door b langzaam steeds groter te maken (bij vaste a).
Als b groter wordt (bij gelijkblijvende a), dan wordt c steeds kleiner, immers  c2 = a2 - b2.
Dat betekent dat de brandpunten steeds dichter naar elkaar en naar de oorsprong toe gaan.
Op het moment dat b = a  geldt c = 0. Dat wil zeggen dat beide brandpunten in de oorsprong liggen.
Dan is dus  d(P,O) + d(P,O) = 2a  ofwel  d(P,O) = a.
Het is een cirkel met straal a geworden!!!!!

Dat kun je ook eenvoudig aan de vergelijking van de ellips zien: als je neemt b = staat er  x˛/a˛ + y˛/a˛ = 1
dat is hetzelfde als x2 + y2 = a2  en die herkennen we uiteraard nog van "vroeger"  als een cirkel met straal a.

En als b groter dan a wordt, dan schuiven de brandpunten over de y-as weer uit elkaar. In dat geval geldt  c2 = b2 - a2 , en nu liggen de brandpunten bij  (0, c) en (0, -c).

Samengevat:

   
Natuurlijk hoeft het midden van de ellips niet in de oorsprong te liggen. Je kunt hem verschuiven met de (hopelijk) intussen bekende translaties:
   

vervang  x door x - a ⇒  schuif de grafiek a naar rechts
vervang  y door y - a  ⇒  schuif de grafiek a omhoog

   
En als je een formule van een verschoven ellips krijgt dan kun je, net als bij de cirkel en parabool, door kwadraat afsplitsen die translaties zichtbaar maken.

Voorbeeld.

Gegeven is de ellips  4x2 + 16x + 2y2 - 12y + 14 = 0.
Geef de coördinaten van de toppen en de brandpunten, en schets de ellips.

oplossing:
4(x2 + 4x) + 2(y2 - 6y) + 14 = 0
4(x2 + 4x + 4 - 4) + 2(y2 - 6y + 9 - 9) + 14 = 0
4(x + 2)2 - 16 + 2(y - 3)2 - 18 + 14 = 0
4(x + 2)2  + 2(y - 3)2 = 20
Dus a = 5 en b = 10. Omdat b > a lagen de brandpunten (vóór de translaties) op de y-as.
c2 = b2 - a2 = 10 - 5 = 5  dus  c = 5.
De brandpunten waren oorspronkelijk  (0, ±5) en de toppen waren  (0, ±10) en (±5, 0)
maar de ellips is 2 naar links en 3 omhoog geschoven.
Dat geeft brandpunten  (-2, 3 ±5)  en toppen  (-2, 3±10)  en  (-2±5, 3)
   
En nu het gezonde boerenverstand...
   
Zo'n ellips is natuurlijk niets anders dan een afgeplatte of uitgerekte cirkel. Dus kun je ook makkelijk de formule ervan afleiden uit de formule van een cirkel.
Begin met een cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 1. De vergelijking daarvan is natuurlijk  x2 + y2 = 1.

Als je nou de horizontale as van de ellips gelijk wilt maken aan 2a dan moet je de cirkel vermenigvuldigenten opzichte van de y-as met factor a. Dat doe je door in de vergelijking x te vervangen door x/a

Daarna kun je op dezelfde manier de verticale as van -b tot b krijgen door te vermenigvuldigen ten opzichte van de x-as met factor b:  vervang y door y/b

Dat geeft dan automatisch de gezochte ellipsformule.

   

   
Omgekeerd is dit dan ook meteen het bewijs dat die formule hoort bij een afgeplatte of uitgerekte cirkel. Dat is precies de reden dat we in zoveel situaties ellipsen tegenkomen. Eigenlijk elke keer als je schuin tegen een cirkel aankijkt (of de schaduw van een cirkel ziet).
   

   
2. Schets de volgende ellipsen en geef coördinaten van de brandpunten en de toppen.
       
  a. 4y2 + 9x2 - 40y + 18x + 73 = 0  
  b. 4y2 + x2 + 16y - 4x + 19 = 0  
  c. 2y2 + x2 + 20y - 14 = 0  
  d. 9y2 + 64x2 - 144y - 384x + 576 = 0  
       
3. Een algemene vergelijking van een ellips is  ax2 + by2 + cx + dy + e = 0
Hoe kun je aan zo'n algemene vergelijking direct zien of de brandpunten op de x-as liggen of op de y-as?
       
4. Stel een vergelijking op van de volgende ellipsen:
       
  a. Met de toppen  (-8,0) en (8,0) en (0, -5) en (0,5)
  b. Met de toppen  (0,0) en (4,0) en (2, -6) en (2,6)
  c. Met de toppen  (1, -5) en (7,-5) en (4,-4) en (4,-6)
  d. Met de toppen  (0, 6) en (0, -6) en de brandpunten (-8,0) en (8,0)
  e. Met de toppen  (5,2) en (-5,2) en de brandpunten (-3,2) en (3,2)
       
5. Een ellips heeft als richtcirkel  x2 + (y + 2)2 = 81 en als één van de brandpunten (6, -2)
Geef een vergelijking van deze ellips
       
6.

Een ellips heeft een brandpunt  (4,0) en een top (10,0) Geef een formule.

       
7. Gegeven is de ellips:  x˛/6 + y˛/9 = 1
       
  a. Geef de coördinaten van de toppen van deze ellips.
   

(±6, 0)  (0, ±3)

  b. Geef de vergelijking van de ellips in de vorm   ax2  + by2 = c.
     
  c. Bereken de coördinaten van de snijpunten van de ellips met de lijn  y = x + 1. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
     

(1.43, 2.43) 
(-2.23, -1.23)

8. Gegeven is de ellips:  4y2 + x2 - 2x = 0
       
  a. Een verticale lijn gaat door één van de brandpunten van deze ellips, en staat loodrecht op de lange as.
De lijn snijdt de ellips in de punten P en Q.
Bereken de lengte PQ.
   

0,5

  b. Bereken de coördinaten van de snijpunten van deze ellips met de x-as
   

(0,0) en (2,0)

  c. Deze ellips snijdt van de lijn y = x een lijnstuk af. Bereken de lengte van dat lijnstuk.
     

2/52

 
     
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)