© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Dubbellogaritmisch Papier
       
Bij dubbellogaritmisch papier hebben beide coördinaatassen een logaritmische schaalverdeling.
Volgens bovenstaande redenering geldt dan  ypapier = LOG(y) en  xpapier = LOG(x)
Laten we op zoek gaan naar functies waarvan dit papier rechte lijnen maakt.

y
papier = a xpapier + b  geeft dan:  
LOG(y) = a • LOG(x) + b 
⇒ LOG(y) = LOG(xa) + LOG(10b)
⇒ LOG(y) = LOG(xa • 10b)
⇒  y = 10bxa  = c xa    noem die constante 10b zelf maar c

HEBBES!
       
Dubbellogaritmisch papier maakt van machtsfuncties rechte lijnen
       
De grafiek van y = c xa  wordt op dubbellogaritmisch papier een rechte lijn met helling a  (een beginpunt kun je niet vinden: bedenk dat dit papier geen x-as én geen y-as heeft! Dat punt daar in het midden is het punt (1,1))

Linksonder zijn een aantal machtsfuncties op dubbellogaritmisch papier getekend. denk erom dat er in deze grafieken géén x-as en y-as staan. Bedenk verder dat ook √x en  1/x machtsfuncties zijn, immers  √x = x 0,5  en 1/x = x -1

Het effect van c uit y = cxa  kun je in de grafiek rechtsonder zien. Die c is tóch wel een soort van beginpunt, alleen niet bij x = 0 maar bij x = 1.

       

       
       
  OPGAVEN
       
1. Dus jij dacht dat sex-appeal niet wiskundig te berekenen valt?
Mooi wel!
De mannetjeskrabben van de soort Uca pugnax (de wenkkrab) hebben een vergrote schaar om te vechten en andere mannetjes te imponeren. Maar belangrijker: mannetjes met grotere scharen trekken meer vrouwtjes aan!
De sex-appeal (= schaargewicht) van de wenkkrab wordt gegeven door:     S = 0,036 • G1,356 
Daarin is S het gewicht van de schaar en G het lichaamsgewicht.

       
  a. Teken de grafiek van S(G) op dubbellogaritmisch papier.
       
  b. Onderzoek met dit papier bij welk gewicht de schaar de helft van het totale gewicht van de krab in beslag neemt. Controleer je antwoord na afloop met de gegeven formule.
     

G = 1621

       
2. Het bedrijf Telfort heeft bijgehouden hoeveel mobieltjes er in een bepaald jaar onder haar klanten aanwezig waren, en ook hoeveel gesprekken er met in dat jaar met die mobieltjes gevoerd werden. Dat leverde de volgende tabel:
       
 
jaar aantal mobieltjes aantal gesprekken
1985
1990
1995
2000
240
704
2095
6191
6022
20270
68225
229627
       
  De functies voor het aantal mobieltjes (M) en het aantal gesprekken (G) als functie van het jaar t (met t = 0 in 1985) zijn exponentiële functies.
       
  a. Toon dat aan met logaritmisch papier en geef formules voor M(t) en G(t).
       
  b. De formule voor G als functie van M is een machtsfunctie. Toon dat aan met logaritmisch papier.
       
  Er geldt    G(M)  = 13 • M1,12 
       
  c. Leid deze formule zelf af.  
       
  d. Hoe kun je aan de formule voor G(M)  zonder verder berekeningen te maken in één keer zien dat het aantal gesprekken per mobieltje toeneemt?
       
  e. Leg uit hoe je de formule voor G(M) kunt afleiden uit beide formules uit vraag a).
       
3. De hartslagfrequentie van een diersoort blijkt af te hangen van zijn lichaamsgewicht. Dieren zwaarder hebben een lagere hartslag. In de grafiek hieronder  zie je de hartslag (in slagen per minuut) als functie van het lichaamsgewicht voor verschillende dieren op dubbel logaritmisch papier getekend.
       
 

       
  a. Teken in deze grafiek ook een tekkel die een gewicht van 5 kg heeft en een hartslag van 250.
       
  b. Stel een formule op voor  H(G).  
       
4. Voor de gemiddelde afstand tot de zon van een aantal planeten in ons zonnestelsel geldt de volgende tabel:
       
 
planeet gemiddelde afstand
tot de zon
(miljoenen km)
omwentelingstijd
rond de zon
(dagen)
mercurius
venus
aarde
mars
jupiter
saturnus
uranus
neptunus

58
108
150
228
778
1427
2870
4500

88
225
365
686
4329
10751
30660
60146
       
  a. Verwerk deze gegevens op dubbellog-papier en stel een vergelijking op .
       
  Jarenlang is er, met name in de 18e eeuw, gezocht naar een onderling verband tussen de diverse afstanden van de planeten tot de zon. Uiteindelijk vonden Titius en Bode de volgende, voor hun tijd verrassend nauwkeurige, formule:  
R(n) = 0,4 + 0,3 • 2n 
Daarin is R de afstand tot de zon, gemeten in AE, en n een geheel getal dat bij een planeet hoort. 1AE is de afstand van de aarde tot de zon.
       
  b. Welke n hoort er bij Jupiter?
     

n = 4

  Het Handboek voor de beginnende Astronoom  geeft de volgende formule om het planeetnummer n te achterhalen als de afstand R (in AE) bekend is: n(R) = 1,7 + 3,3 • log(R - 0,4)
       
  c. Leid deze formule af uit bovenstaande formule van Titius en Bode. Geef de constanten 1,7 en 3,3 in drie decimalen.
     

1,736 en 3,322

5. In de volgende tabel zie je van een aantal "beroemde" explosies en twee "algemene" explosies de kracht  (in ton TNT) en de afstand tot waar de explosie hoorbaar was (in km).
       
 
explosië: Krakatau
1883
Tsar Bomba
1961
St. Helena
1980
Hiroshima
1945
terroristische
aanslag
bliksem
kracht (k): 2 • 108 5 • 107 225 • 104 15 • 103 500 0,2
afstand (A): 4800 3200 1200 300 100 10
       
  Zet deze gegevens uit op dubbellogarimisch papier en geef een mogelijke formule voor de afstand (A) als functie van de kracht (k).
       
6. Een moeder heeft van haar zoon steeds op zijn verjaardag de lengte (L in cm) gemeten. Als zij een aantal van die meetwaarden tekent geeft dat de volgende figuur (de meetwaarden staan boven de figuren):
       
 

       
  a. Onderzoek met dubbellogaritmisch papier of deze gegevens misschien van de vorm  L = a tb  met t de tijd in jaren, en a en b constanten zijn. Bedenk daarbij goed wat er aan de uiterste linkerkant van de grafiek zal gebeuren.
       
  b. De moeder zoekt verder naar een mogelijk beter verband, en zet nu op de y-as de waarde van  186 - L. Dat doet ze op enkellogaritmisch papier. Maak die grafiek, en geef daarmee een mogelijke formule voor L(t)
     

L=186-130•0,8t

  c. De moeder heeft nog een tweede zoon, die nog niet zo oud is. Van hem heeft ze de volgende metingen:
       
   
leeftijd in jaren 0 2 4
lengte in cm 40 76 102
       
    Als ook voor deze jongen een verband van de vorm L = a - bgt  geldt, hoe lang zal deze zoon dan uiteindelijk worden?
     

170 cm

       
7. Een jongetje is een groot liefhebber van auto's. 
Hij woont dicht bij Schiphol, en vaak gaat hij op een vrije middag de enorme parkeerplaatsen langs om te kijken welke merken auto's er staan.
Hij merkt daarbij dat het aantal verschillende merken dat hij ziet eerst snel toeneemt, maar naarmate hij langer aan het kijken is wordt het aantal nieuwe merken steeds kleiner.

Een grafiek van het aantal verschillende merken (M) uitgezet tegen het totaal aantal bekeken parkeerplaatsen (P) levert hem op dubbellogpapier de grafiek hiernaast op.

     
  a. Lees af na hoeveel parkeerplaatsen het jongetje 8 verschillende merken heeft geteld.
     
  b. Stel een formule op voor M als functie van P.
       
8. Een groep vogelliefhebbers gaat vaak op de vrije zondag het bos in om verschillende soorten vogels te zien.
Men houdt daarbij nauwkeurig bij hoeveel verschillende soorten vogels er gezien zijn. Uit de logboeken in de loop der maanden ontdekt een wiskundige onder hen dat er een verband bestaat tussen de tijd die men in het bos doorbracht en het aantal verschillende soorten vogels dat is gezien.
De volgende tabel geeft dat verband:
       
 
aantal minuten 10 25 42 68 77 90 110 138 151
aantal soorten 8 14 20 27 29 32 36 42 45
       
  a. Verwerk deze gegevens op dubbellogaritmisch papier.
       
  b. Stel een formule op voor het aantal soorten als functie van de tijd.
       
9. De ademhaal-snelheid A (aantal ademhalingen per minuut) van een zoogdier in rust blijkt omgekeerd evenredig te zijn met G0,26  waarbij G zijn gewicht in kilogrammen is. Een Kodiakbeer weegt gemiddeld  700 kilo en haalt per minuut 9,7 keer adem.
Hieronder zie je op logaritmisch papier de grafiek van A als functie van G voor zoogdieren en ook voor vogels.
       
 

       
  a. Geef in deze figuur de plaats van de Kodiakbeer aan.
       
  Voor de grafiek van de vogels zijn de plaats van de struisvogel en de kolibrie al in de figuur aangegeven. De grafiek van de vogels heeft een formule die te schrijven is als  A = a × Gb
       
  b. Leg uit hoe dat aan die grafiek hierboven te zien is, en bereken met de gegevens van de struisvogel en de kolibrie de waarden van a en b.
       
10. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1995

Voor opgroeiende karperlarven kleiner dan 19 mm bestaat het volgende verband tussen lengte en gewicht: 
W = 10a • Lb  waarbij W het gewicht is in mg en L de lengte in mm.
a en b zijn constanten.
Voor karperlarven groter dan 19 mm geldt net zo'n formule maar met andere waarden voor a en b.
       
 

       
  De twee lijnstukken in de grafiek geven het verband weer tussen de logaritme van de lengte en de logaritme van het gewicht van karperlarven.
       
  a. Bereken met behulp van deze figuur in mg nauwkeurig hoeveel een karperlarve van 12 mm weegt.
       
  b. Bereken met behulp van deze figuur voor karperlarven kleiner dan 19 mm de constanten a en b in de formule voor W. Geef de antwoorden in één decimaal nauwkeurig.
       
  Iemand beweert dat alle karperlarven vanaf 19 mm niet meer van vorm veranderen. Dit betekent dat hun gewicht evenredig is met de derde macht van hun lengte.
       
  c. Onderzoek of de grafiek hiermee in overeenstemming is.
       
11. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2010
       
  Niet alle dieren hebben even zware hersenen. Zwaardere dieren hebben meestal zwaardere
hersenen. Het gemiddelde lichaamsgewicht van volwassen dieren van een soort in kg, noemen we G.
Het gemiddelde hersengewicht van volwassen dieren van die soort in kg, noemen we H. De grafiek hieronder geeft het verband weer tussen de logaritme van G en de logaritme van H.
In deze figuur zijn meetpunten te zien die horen bij een groot aantal soorten zoogdieren. De meetpunten liggen min of meer op een rechte lijn.

       
 

       
  a. Het gemiddelde lichaamsgewicht van volwassen katten is 5 kg. Bepaal met behulp van de rechte lijn in de figuur hierboven het gemiddelde hersengewicht van volwassen katten.
     

0,025 kg

  Een formule die bij de rechte lijn hoort is log H = 0,767• logG − 2,097 .
       
  b. Er zijn diersoorten waarvan de volwassen dieren een gemiddeld hersengewicht hebben dat 1% is van hun gemiddelde lichaamsgewicht. Bereken met behulp van de gegeven formule dit gemiddelde lichaamsgewicht.
     

0,383

  c. De bovenstaande formule is ook te schrijven als H = a • Gb  Bereken de waarden van a en b. Geef je antwoorden in drie decimalen nauwkeurig.
     

0,008 en 0,767

       
 
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)