© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a.

       
    De rode grafiek is die van G
Hij gaat bijv. door  (100, 18.5)  en  (1000, 421)		  
       
  b. De zwarte grafiek is de grafiek van S = 0,5G bijv. door  (100, 50) en (1000, 500)
Het snijpunt ligt ongeveer bij  G = 1600 - 1700
       
2. a. Zie hiernaast.
Voor exponentiλle functies neem je enkellogpapier.

De groene grafiek is voor G en hoort bij de schaalverdeling aan de rechterkant.
De rode grafiek is voor M en hoort bij de schaalverdeling aan de linkerkant.

Het zijn beide rechte lijnen, dus exponentiλle functies.

M door bijv.  (0, 240) en (15, 6191)
De beginwaarde is dan 240;
De factor is 6191/240 = 25,8 en dat is in 15 jaar.
g15 = 25,8 ⇒ g = 25,81/15 = 1,242
De formule is dan M = 240 • 1,242t

G door bijv.  (0, 6022)  en (155, 229627)
De beginwaarde is dan 6022;
De factor is 229627/6022 = 38,1 en dat is in 15 jaar.
g15 = 38,1 ⇒ g = 38,11/15 = 1,275
De formule is dan G = 6022 • 1,275t

 
       
  b. Zie hiernaast.
Voor machtsfuncties neem je dubbellogpapier.

Zie hiernaast.
Het is een rechte lijn, dus de functie is een machtsfunctie.

     
  c. Gebruik bijv. de punten  (240, 6022)  en (6191, 229627)
invullen geeft 
6022 = a • 240b  en  229627 = a • 6191b  
op elkaar delen, dan valt a weg:

229627/6022 = (6191/240)b
38,1 = 25,8b
b = log(38,1)/log(25,8) = 1,12

6022 = a • 2401,12
6022 = a • 463,3
a = 13

Dat geeft de formule  G = 13 • M1,12 
     
  d. De macht van M is 1,12 en dat is groter dan 1.
Dan is  G/M = 13 • M0,12 en dat is een positieve macht, dus als M toeneemt, dan neemt G/M ook toe
       
  e. M = 240 • 1,242t  en  G = 6022 • 1,275t
probeer een macht p te vinden zodat  1,275 = 1,242p
dan is  p = log(1,275)/log(1,242) = 1,12
Dus  G = 6022 • 1,275t = 6022 • (1,242t)1,12
2401,12 = 463
6022/463 = 13  dus  6022 = 13 • 463
Dat geeft  G = 6022 • (1,242t)1,12
= 13 • 463 • (1,242t)1,12
= 13 • 2401,12 • (1,242t)1,12
= 13 • (240 • 1,242t) 1,12
= 13 • M1,12
       
3. a. log 5 = 0,7 en log 250 = 2,4
de tekkel staat dus bij (100,7 ,102,4)

     
  b. Lees twee punten af,
bijv.  (101, 102,1) en (103,5, 101,5)
dat zijn de punten (10, 125.9)  en (3162, 31,6)

125.9 = a • 10b  en  3162 = a • 31,6b
op elkaar delen, dan valt a weg;

3162/125,9 = (31,6/10)b
25,12 = 3,12b
b = log(25,12)/log(3,12) = 2,0

125,9 = a • 102,0  geeft a = 1,26  

De formule is  H = 1,26 • G2
       
4. a.

    De punten liggen op een rechte lijn, dus er is een machtsfunctie.
Neem de punten (58, 88)  en  (4500, 60146)
Invullen geeft   88 = a • 58b  en   60146 = a • 4500b
op elkaar delen, dan valt a weg   60146/88 = (4500/58)b
683,48 = 77,59b
b = log(683,48)/log(77,59) = 1,5
88 = a• 581,5  geeft dan  a = 0,2
De formule is  T = 0,2 • A1,5
       
  b. voor Jupiter is  AE = 778/150 = 5,187
5,187 = 0,4 + 0,3 • 2n 
4,787 = 0,3 • 2n
15,956 = 2n
n = 4
       
  c. R = 0,4 + 0,3 • 2n 
R - 0,4 = 0,3 • 2n
1/0,3 • (R - 0,4) = 2n
3,333 • (R - 0,4) = 2n
n = 2log(3,333 • (R - 0,4))
n = log(3,333 • (R - 0,4))/log2
n = 1/log2 • log(3,333 • (R - 0,4))
n = 3,322 • (log3,333 + log(R - 0,4))
n = 1,736 + 3,322 • log(R - 0,4)
       
5.  

       
    Zie de figuur. Er zijn drie verschillende verticale schaalverdelingen gebruikt. De lijnen zijn redelijk evenwijdig, dus op ιιn grote verticale schaalverdeling zou het ιιn rechte lijn worden.

Neem bijv. de punten   (10, 0.2) en  (4800, 2•108)
0,2 = a • 10b  en   2 • 108 = a • 4800b
op elkaar delen, dan valt a weg:   (2•10^8/0,2) = (4800/10)b
1010 = 480b
b = log(1010)/log(480) = 3,7.
0,2 = a • 103,7  geeft dan a = 0,00004
De formule wordt   k = 0,00004 • A3,7   
       
6. a.

       
    Zie de figuur. De eerste meetwaarde kun je niet tekenen. Die ligt eigenlijk oneindig ver naar rechts!
Deze vier punten liggen redelijk op een stijgende rechte lijn.
Maar omdat de waarden bij t = 10-1 en 10-2 en 10-3 en 10-4  allemaal ongeveer gelijk zullen zijn (er zit amper tijd tussen), zal de grafiek aan de linkerkant een horizontale lijn zijn.
Dat kan samen met de stijgende lijn in de figuur hierboven nooit ιιn rechte lijn worden.
Dus zal de grafiek niet van de vorm  L = a • tb
       
  b
t 0 2 6 12 20
186 - L 130 83 34 9 1

Dat geeft op enkellogpapier een redelijk goede rechte lijn.

Die gaat door bijv.  (0, 130)  en (16, 3)

de factor is  3/130 = 0,023 en dat is in 16 jaar.
g16 = 0,023 ⇒  g = 0,0231/16 = 0,79
B = 130  dus dat geeft  y = 130 • 0,79t 

Maar y = 186 - L
186 - L = 130 • 0,79t   
Geeft  L = 186 - 130 • 0,79t
 

     
  c. t = 0 geeft  a - b = 40
t = 2  geeft  a - b • g2 =  76
t = 4 geeft  a- b • g4 = 102

De eerste formule geeft  a = 40 + b
Invullen in de andere twee;

40 + b - b • g2 = 76
40 + b - b • g4 = 102

De eerste formule geeft  g2 = (b - 36)/b 
Invullen in de tweede:

40 + b - b • ((b - 36)/b)2 = 102
Voer dat in bij Y1 en gebruik intersect.  Dat geeft  b = 129,6
g2 = (b - 36 )/b  = (129,6 - 36)/129,6 = 0,7222

Dan is a = 40 + b = 169,6.
De functie voor de tweede zoon is dus  L = 169,6 - 129,6 • 0,7222t  
Als t heel groot wordt dan komt daar 169,6 uit.
Haar tweede zoon zal 169,6 cm lang worden.
       
7. a. log 8 = 0,9   dus  8 = 100,9.
Aflezen in de grafiek geeft ongeveer P = 101,55  en dat is 35 plaatsen
       
  b. Het is een rechte lijn op dubbellogpapier dus de functie ziet er uit als  M = a • Pb
Lees twee punten af, bijv.  (1,1)  en  (101,4, 100,8)
Dat is ongeveer  (1, 1) en (25.1, 6.3)
1 = a • 1b   geeft direct a = 1
6,3 = 1 • 25,1b  geeft dan  b = log(6,3)/log(25,1) = 0,57
De formule is M = P0,57    
       
8. a.

       
  b. Het is een rechte lijn op dubbellogpapier dus de functie ziet er uit als  S = a • tb
Lees twee punten af, bijv.  (10,8)  en  (110, 36)
8 = a • 10b  en  36 = a • 110b
Op elkaar delen, dan valt a weg:  (110/10)b = 36/8
11b  = 4,5
b = log(4,5)/log(11) = 0,627

8 = a • 100,627 
8 = a • 3,236
a = 1,89

De formule is  S = 1,89 • 0,627b
       
9. a.

       
    700 = 102,84   (want log700 = 2,84) en dat geeft de plaats van de zodiacbeer
       
  b. Je ziet het omdat de grafiek een rechte lijn is.
Die lijn gaat door bijv.  (10-2,5, 10-2 )  en   (102, 10)   (kolibrie en struisvogel)
Dat zijn de punten  (0.00316, 0.01)  en  (100, 10)
invullen:  0,01 = a • 0,00316b  en   10 = a • 100b 
op elkaar delen, dan valt a weg:  (100/0.00316)b = 10/0,01
 31623b = 1000
b = log1000/log31623 = 1,5

10 = a • 1001,5  ⇒  10 = a • 66,67   ⇒   a = 0,15
De formule is  A = 0,15 • G1,5 
       
10. a. log12 = 1,08
aflezen in de figuur:  op de y-as hoort daarbij 1,75
log W = 1,75 geeft  W = 101,75 = 56 mg
       
  b. Lees twee punten af, bijv.   (1.27, 2.32)  en (1.08, 1.75)
Dat zijn de punten  (101.27, 102.32) en  (101.08, 101.75) en dat is  (19, 209) en (12, 56)
invullen:    209 = 10a • 19b   en   56 = 10a • 12b 
op elkaar delen, dan valt 10a weg:   209/56 = (19/12)b
3,73 = 1,58b ⇒  b = log(3,73)/log(1,58) = 2,86

209 = 10a • 192,86 ⇒  0,046 = 10a ⇒  a = log(0,046) = -1.34

Afgerond:  a = -1,3  en  b = 2,9
       
  c. Er moet dan gelden  W = c • L3  met c een constante
Omdat de grafiek een rechte lijn is op dubbellogpapier, geldt in ieder geval  W = c • Ld
Lees twee punten af, bijv.  (19, 209) en (102, 104,8).  Dat laatste is (100, 63096)
invullen:  209 = c • 19d  en   63096 = c • 100d
op elkaar delen:   63096/209 = (100/19)d 
302  = 5,26d  ⇒   d = log302/log5,26 = 3,4 
Dat klopt maar matig......
       
11. a. Als G = 5, dan is logG = log5 = 0,7
Lees af bij 0,7 op de horizontale as. Dat geeft op de verticale as logH = -1,6
Dan is H = 10-1,6 = 0,025 kg.
       
  b. H = 0,01G geeft in de formule:  log(0,01G) = 0,767 • logG - 2,097
twee manieren:
1.  Voer in de GR in:  Y1 = log(0,01X) en Y2 = 0,767 • log(X) - 2,097
     intersect levert  X = G = 0,383

2.  algebraοsch:  log(0,01) + log(G) = 0,767 • logG - 2,097
     logG - 0,767logG = -2,097 - log0,01
     0,233logG = -0,097
     logG = -0,4163
     G = 10-0,4163 = 0,383
       
  c. 10logH = 100,767•logG - 2,097
H = 100,767•logG • 10-2,097
H = (10logG)0,767 • 0,008
H = G0,767 • 0,008
Dus  a = 0,008  en  b = 0,767
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)