Dingen bij elkaar optellen....

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het gaat er natuurlijk niet om gewoon dingen bij elkaar op te tellen, maar om oneindig veel dingen (meestal functiewaarden) op te tellen die steeds van grootte veranderen. Dat klinkt nogal vaag, maar een voorbeeld zal waarschijnlijk een boel duidelijk maken.

In het examen wiskunde B1 van 2004 tijdvak 2 stond de volgende opgave.
   
In een zeker gebied wordt een grote toename van de bevolking voorzien. Om de daarmee gepaard gaande problemen het hoofd te kunnen bieden, heeft men een schatting nodig van de grootte van de bevolking voor de komende jaren. Daarvoor stelt men het volgende model op voor de grootte van de bevolking:  B(t) = 228 • e0,1t
Hierin is B het aantal mensen in duizenden en t de tijd in jaren.
Het komende jaar loopt van t = 0 tot t = 1. In deze opgave werken we met jaren van 360 dagen en maanden van 30 dagen.
(....)
Voedseldeskundigen hanteren als vuistregel: per persoon is er per dag 0,4 kg vast voedsel nodig.
De totale benodigde hoeveelheid vast voedsel voor de inwoners van het gebied in het komende jaar noemen we V (in kg).
Iemand wil berekenen hoe groot V is.
(....)
 
Stel eerst een formule op voor de jaarbehoefte op tijdstip t: 
V(t) = B(t) • 0,4 • 1000 • 360  = 32832000 • e0,1t    waarbij t in jaren is.

We willen nu graag het voedsel van dag 1 plus dat van dag 2 plus.....plus dat van dag 360 uitrekenen, en die dingen allemaal bij elkaar optellen. Die voedselhoeveelheden variλren omdat de bevolkingsgrootte varieert.

We willen dus optellen:    V(0/360) • 1/360  + V(1/360) • 1/360   + ... + V(359/360) • 1/360
Dat kan in ιιn keer met een integraal. Denk aan de Riemann sommen van ooit...

Dat is gelijk aan  32832000 • 1,0517 = 34529716 kg voedsel.
 
Als je een serie functiewaarden optelt die dicht bij elkaar liggen dan geldt:
 
 
Nog een keer hetzelfde voorbeeld.....

Het voorbeeld hierboven kan natuurlijk ook opgelost worden door de voedselbehoefte per dag te bekijken, in plaats van per jaar.
Dan geldt:   B(d) = 228 • e0,1d/360    met d het dagnummer.
Het voedsel op elke dag optellen geeft dan:
V =  0,4 • 1000 • (228 • e0,1 • 1/360 + 228 • e0,1 • 2/360 + ...  +  228 • e 0,1 • 360/360) 
En al die dingen optellen geeft weer een integraal: 
 

= 328320000 • 0,10489 = 34438503
Gelukkig ongeveer hetzelfde antwoord. Het verschil zit hem in die ene dag verschil (d = 0 is nu niet meegeteld).
1. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2004-1

Een nieuw industrieterrein grenst aan een recht kanaal en heeft de vorm van een rechthoek OABC. OA = 400 m en OC = 200 m. Zie de figuur hiernaast.

De grondprijs is afhankelijk van de afstand tot het kanaal: hoe dichter bij het kanaal, hoe duurder de grond.
Het verband tussen de grondprijs P (in euro per m2) en de afstand tot het kanaal x (in meters) wordt gegeven door de formule  P(x) = 100 • 0,998x

De totale grondprijs van het terrein is te bepalen door rechthoek OABC in rechthoekjes met lengte 200 meter en breedte Dx meter te verdelen.

  In de figuur is ιιn zo'n rechthoekje getekend op x meter van het kanaal. De totale grondprijs is dan bij benadering de som van de grondprijzen van deze rechthoekjes.

Bereken de totale grondprijs met behulp van een integraal.

     

5,50 miljoen

       
2. Op een Petrischaal in een laboratorium bevindt zich een bacteriekolonie. De schaal is luchtdicht afgesloten en bevat 100 ml zuurstof. Het aantal bacteriλn (N) wordt steeds groter. Er geldt  N(t) = 100 • e0,04t   met t de tijd in uren.

Elke bacterie verbruikt per uur  0,06 ml zuurstof  (6 • 10-5 ml).
De hoeveelheid zuurstof die de hele kolonie  tussen t en t + dt verbruikt (in ml)  is dan gelijk aan  6 • e0,04t • dt
Bereken hoe lang het duurt voordat de hele zuurstofvoorraad van de schaal verbruikt is.
     

12,77 uur

       
3. Gegeven is de volgende meetkundige reeks:   100 - 110 - 121 - 133,1 - 146,41 - 161,051 - .....
We willen graag de som van de eerste 50 termen van deze reeks bepalen.
 
     
a. Bepaal deze som met een formule voor de som van een meetkundige reeks.

116390,8529

b. Benader deze som met een integraal.

110920,95

     
     
4.

     
  Iemand gooit een pijltje op een dartboard met straal R.
Het pijltje komt op een willekeurige plek van het bord terecht.

Je kunt zo'n dartbord beschouwen als stroken met dikte dr. De kans dat het pijltje in zo'n strook terechtkomt is dan evenredig met de oppervlakte ervan.

De gemiddelde afstand van het pijltje tot het middelpunt is de verwachtingswaarde van alle afstanden.
Wat is de gemiddelde afstand van het pijltje tot het middelpunt van het bord?
   

2/3R

     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)