y' = f (y)

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Als de afgeleide van y alleen afhangt van y zlf  (zo'n differentiaalvergelijking heet wel een autonome differentiaalvergelijking), dan kun je vaak beredeneren hoe de functie y(x) er ongeveer uit moet zien.
Neem bijvoorbeeld de eenvoudige differentiaalvergelijking  y'  = 2y - 4   
Een lijnelementenveld daarvan ziet er uit als hiernaast.

Daar valt toch wel n lijn meteen aan op, vind je niet?

Op de lijn y = 2 zijn de hellingen allemaal gelijk aan nul. Erboven zijn de hellingen positief, dus de grafieken stijgend. Eronder zijn de hellingen negatief dus de grafieken dalend. En nou komt het: 
 

een grafiek kan de lijn y' = 0 nooit passeren!!!

 

Waarom is dat zo?
Stel dat een oplossingskromme wl de lijn y = 2 passeert.
Op zijn snijpunt met y = 2 heeft hij helling 0. Maar dat betekent dat hij horizontaal loopt, dus niet omhoog of omlaag gaat.
En dat blijft op elk punt van de lijn  y = 2  hetzelfde. De grafiek zal dus de lijn y = 2 blijven volgen.

Aan het lijnelementenveld (en trouwens ook aan de differentiaalvergelijking) zien we verder het volgende:
Alle oplossingskrommen zijn onder de lijn  y = 2 overal dalend en erboven overal stijgend.
Dus onder y = 2 hebben we te maken met overal dalende krommen die de lijn y = 2 nergens kunnen passeren. Erboven zijn het overal stijgende krommen die ook de lijn y = 2 nergens kunnen passeren.

Dat betekent dat de lijn y = 2 horizontale asymptoot van de oplossingskrommen is. En ook zelf n van de oplossingskrommen is trouwens.....

Met deze informatie kun je al aardig goed de globale vorm van de oplossingskrommen schetsen. Hiernaast is dat gedaan.

   
Nog een voorbeeld.  
   
Neem de differentiaalvergelijking   y'  =  y2 - y - 2

y'
= 0  geeft  y = -1  of  y = 2

Dat betekent dat deze twee lijnen de horizontale asymptoten van de oplossingskrommen zijn.
Tussen deze lijnen in is de afgeleide negatief, dus de oplossingskrommen zijn daar dalend. Erboven en eronder zijn de oplossingskrommen stijgend.

   
Dat geeft ongeveer een plaatje als hiernaast.
Zo kun je de vorm van de oplossingskrommen redelijk beredeneren en schetsen.

Precieze formules, daar moet je nog even op wachten....

 

   
OPGAVEN
   
1. Gegeven is de differentiaalvergelijking  y' = y2 - y - 6
       
  a. Welke lijnen zijn horizontale asymptoten van de oplossingskrommen?
     

y = 3 en y = -2

  b. Schets een aantal oplossingskrommen.  
       
  c. Er zijn een aantal oplossingskrommen die een buigpunt hebben. Het blijkt dat al die buigpunten op dezelfde lijn liggen. Welke lijn is dat?
     

y = 1/2

2. Gegeven zijn de differentiaalvergelijkingen  y' = -y2 + 4y + p
       
  a. En van de oplossingskrommen van deze differentiaalvergelijkingen gaat door  (0, 5).
Voor welke waarden van p is deze oplossingskromme daar stijgend?
     

p > 5

  b. En van de oplossingskrommen raakt de lijn y = 4x - 8 in de y-as.
Bereken voor welke waarde van p dat het geval is.
     

p = 100

  c. Voor welke waarden van p zijn alle oplossingskrommen overal dalend?
     

p < -4

3. Gegeven is de differentiaalvergelijking  y'  = y3 - 8y
       
  a. Schets een aantal oplossingskrommen.  
       
  b. Een oplossingskromme raakt de grafiek van y = ex.  In welk punt?
     

(ln3, 3)

4. Gegeven is de differentiaalvergelijking  y' = cos y
       
  a. Schets een aantal oplossingskrommen.  
       
  b. Welke horizontale asymptoten heeft de oplossingskromme die door  (0, 150) gaat?
Is deze kromme stijgend of dalend?
     

y = 471/2π en y = 481/2π
stijgend

5. Gegeven is de differentiaalvergelijking  y'  = (y + 2)/(y - 1)
       
  a. Welke lijn is horizontale asymptoot van oplossingskrommen?
     

y = -2

  b. Toon aan dat geen enkele oplossingskromme de lijn y = x raakt.
     

y' = 1 kan niet

  c. Toon aan dat voor grote y-waarden de oplossingskrommen op rechte lijnen gaan lijken.
     

y'  gaat naar 1

  d. Schets een aantal oplossingskrommen.  
       
6. En van de beroemdste autonome differentiaalvergelijkingen is de logistische groei-vergelijking.
Die ziet er z uit:  y'  = r (1 - y/G) y
Leg uit hoe de lijnelementen er uit zien, afhankelijk van de waarden van G en r
Omdat y meestal het aantal exemplaren van een diersoort voorstelt mag je je beperken tot positieve waarden van y.
       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)