h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. y2 - y - 6 = 0
(y - 3)(y + 2) = 0
y = 3  ∨  y = -2  en dat zijn de horizontale asymptoten.
       
  b. een paar isoklinen
y = -4 geeft  y' = -14
y = -3 geeft  y' = -6
y = -1 geeft  y' = -4
y
= 0 geeft  y' = -6
y
= 1  geeft   y' = -6
y = 2 geeft  y ' = -4
y = 4 geeft  y' = 6
y
= 5 geeft  y' = 14 
enz.  

zie hiernaast

       
  c. Het buigpunt vind je bij maximale/minimale helling, dus als y' maximaal/minimaal is.
y' is een dalparabool die minimaal is voor y = 1/2
De buigpunten liggen daarom op de lijn y = 1/2
       
2. a. In (0, 5) is    y' = -y2 + 4y + p =  -52 + 4 5 + p = -5 + p
Dat is positief (y stijgend)  als  p > 5
       
  b. y = 4x - 8  snijdt de y-as in het punt  (0, -8)
Dan is  y ' =  -y2 + 4y + p  = -(-8)2 + 4 -8 + p  = -64 - 32 + p = -96 + p
Maar als de kromme de lijn y = 4x - 8  raakt moet de helling 4 zijn, dus -96 + p = 4
Dus p = 100.
       
  c. Dan moet  -y2 + 4y + p  overal kleiner dan nul zijn.
Het is een bergparabool, en die is altijd kleiner dan nul als de discriminant negatief is:   42 + 4 1 p  < 0
16 + 4p < 0  geeft  p  <  -4
       
3. a. y'  = y3 - 8y
y ' =
0  voor y = 0,  y = 8,  y = -8

een paar isoklinen:
y = -4 geeft  y' = -32
y =
-2  geeft  y ' = 8
y = -1  geeft  y' = 7
y = 1 geeft y' = -7
y = 2  geeft  y ' = -8
y = 3 geeft  y' = 3
y = 4 geeft  y' = 32

zoiets als hiernaast

       
  b. in y = ex  is de helling ook gelijk aan y' = exdus y' = y
Dat geeft  y = y3 - 8y
y
(y2 - 9) = 0
y = 0  ∨  y = 3  ∨  y = -3
y = ex  geeft  x= lny  dus y = 0 en y = -3 kan niet, en  y = 3 geeft het punt  (ln3, 3)
       
4. a. y' = 0 geeft  y = 1/2π, 3/2π, ....

een paar isoklinen:
y = 0 geeft  y' = 1
y = 1/6π  geeft  y' = 1/23
y = 1/4π  geeft  y' = 1/22
y = 1/3π geeft  y'  = 1/2
y = 5/6π  geeft  y' = -1/23
y = 3/4π  geeft  y' = - 1/22
y = 2/3π geeft  y'  = - 1/2

zoiets als hiernaast

       
  b. 150 ≈ 47,7π  dus dat is tussen  47,5π  en 48,5π
Die zal als asymptoten de lijnen  y = 47,5π  en  y = 48,5π hebben.
Voor  〈1.5π, 2.5π〉 en 〈3.5π, 4.5π〉 en 〈5.5π, 6.5π〉 ...... zijn de krommen stijgend.
Dus ook tussen  47,5π en 48,5π zijn de krommen stijgend.
Deze kromme zal stijgend zijn. 
       
5. a. y'  = (y + 2)/(y - 1) = 0   geeft  y = -2  en dat is horizontale asymptoot
       
  b. y = x wordt geraakt als de helling 1 zou zijn.
y' = 1  geeft  (y + 2)/(y - 1) = 1  ⇒   y + 2 = y - 1     2 = -1
Dat kan niet, dus y = x wordt niet geraakt door een oplossingskromme.
       
  c. Als y heel groot wordt, dan is  y + 2  ≈  y en ook y - 1 ≈  y
Dus is  y ' = (y + 2)/(y - 1)  ≈  y/y = 1
De krommen krijgen bijna constante helling 1, dus lijken op rechte lijnen (met helling 1)
       
  d. isoklinen:
y = -4  geeft  y' = 0,4
y = -3  geeft  y' = 0,25
y = -1  geeft  y' = -0,5
y = 0  geeft  y ' = -2
y = 1  kan niet:  verticale raaklijn
y = 2  geeft  y'  = 4
y = 3 geeft  y ' = 2,5
y
= 4  geeft  y' = 2

zoiets als hiernaast (aan de uiteinden gaat het naar helling 1 toe)

       
6. y'  = r (1 - y/G) y

y' = 0  geeft  y = 0  ∨  y = G
y' is een bergparabool (als r  en G > 0),  dus heeft een maximum bij  y = 1/2G  (midden tussen de nulpunten in).  Daar hebben de oplossingskrommen dus maximale helling, dus een buigpunt.
Tussen y = 0  en  y = G zullen de oplossingskrommen een S-vorm hebben
Boven y = G en onder y = 0 zijn de krommen voor grotere/kleinere y steeds sneller dalend.
       
 

       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)