hyperbolische functies sinh en cosh

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

cosh(x) en sinh(x).

We bekijken deze les de twee functies die hierboven genoemd zijn. Je spreekt ze uit als cosinushyperbolicus en sinushyperbolicus. Waarom ze zo heten, dat komt straks wel.
Dit zijn ze:

cosh(x) = ¹/₂(e^x + e^-x)
sinh(x) = ¹/₂(e^x - e^-x)

Meteen maar even de grafiekjes erbij:

Die zijn aan de zijkanten natuurlijk gelijk aan de grafieken van e^x en e^-x:

't Is allemaal niet echt spectaculair, en ze zien er nogal verschillend uit.
Toch hebben deze twee functies erg veel met elkaar te maken. Laten we wat eigenschappen gaan bekijken.

Even en Oneven functie.

Aan de grafieken hierboven zie je al wel dat de cosh een even functie is (dat betekent dat cosh(-x) = cosh(x)) en dat de sinh een oneven functie is (sinh(-x) = -sinh(x)).

De afgeleides.

De afgeleide van cosh(x) is ¹/₂(e^x - e^-x) en dat is precies sinh(x)
De afgeleide van sinh(x) is ¹/₂(e^x + e^-x) en dat is precies cosh(x)

Ze zijn elkaars afgeleide.

Een gemeenschappelijke formule.

Als je de formules gaat kwadrateren krijg je dit:
cosh²(x) = ¹/₄(e^x + e^-x)² = ¹/₄(e^2x + 2e^xe^-x + e^-2x) = ¹/₄(e^2x + e^-2x+ 2)
sinh²(x) = ¹/₄(e^x - e^-x)² = ¹/₄(e^2x - 2e^xe^-x + e^-2x) = ¹/₄(e^2x + e^-2x- 2)

Laten we ze van elkaar aftrekken:
cosh²(x) - sinh²(x) = ¹/₄(e^2x + e^-2x+ 2) - ¹/₄(e^2x + e^-2x- 2) = 1

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Beweging in het platte vlak.

Kijk, die cos²α+ sin²α = 1 die komt natuurlijk van de beweging van een punt over een eenheidscirkel, zodat de x-coördinaat van de punt cosα is en de y-coördinaat sinα. Daarbij is het argument α dan de hoek waarover OP vanaf (1,0) is gedraaid.

Maar dan zijn op dezelfde manier cosh(α) en sinh(α) de coördinaten van een punt P dat over de kromme met vergelijking x² - y² = 1 loopt.
En dat is een hyperbool!

AHAAAA!
Vandaar die namen.....

α stelt nu de zogenaamde hyperboolhoek voor. Dat is geen hoek, maar het is de gele oppervlakte in de figuur hiernaast.
Het bewijs daarvan is vrij lastig, kun je hiernaast vinden
(overigens is het bij de eenheidscirkel ook zo dat de oppervlakte van het gebied dat OP heeft doorlopen gelijk is aan α)

Somformules.

Het zal je intussen wel niet meer verbazen: ook de somformules voor cosh en sinh zijn vergelijkbaar met die voor sin en cos.

cosh(a + b) = cosh(a)cosh(b) + sinh(a)sinh(b)
sinh(a + b) = sinh(a)cosh(b) + cosh(a)sinh(b)

Dat kun je gemakkelijk zelf nagaan door ze uit te schrijven met de e-machten.

Uit deze somformules kun je natuurlijk ook direct de verdubbelingsformules voor cosh(2x) en sinh(2x) afleiden. Dat geeft dan ook weer vergelijkbare formules met die voor cos(2x) en sin(2x).

Complexe getallen.

De formules voor cosh(x) en sinh(x) komen natuurlijik niet zomaar uit de lucht vallen.
Als je voor een complex getal (a + bi) de cosinus en de sinus gaat uitrekenen (uitgelegd in deze les) dan geeft dat:

cos(a + bi) = cos(a) • cosh(b) + i • sin(a) • sinh(b)
sin(a + bi) = cos(a) • sinh(b) + i • sin(a) • cosh(b)

Toepassingen.

1. Kettinglijnen.

Als je een touw aan twee even hoge uiteinden ophangt, dan is de vorm van dat touw een cosh functie.
In deze les kun je daar meer over vinden.

2. Differentiaalvergelijkingen

Als je de differentiaal vergelijking y'' = y oplost vind je combinaties van cosh(x) en sinh(x)
In deze les kun je daar meer over vinden.

3. Integraalsubstituties.

Wil je integralen met factor √(1 + x²) erin oplossen dan kan de substitutie y = sinh(u) wel eens handig zijn, want dan is √(1 + x²) = cosh(u) en dx = cosh(u)du
Voorbeeldje:

Voor welke functie(s) y geldt: y' = c√(1 + y²) ?

Oplossing:

y = sinh(u) geeft dan dy = cosh(u) du en √(1 + y²) = cosh(u)
Beide kanten primitiveren geeft du = cdx dus u = cx
terug substitueren: y = sinh(cx) = ¹/₂(e^cx - e^-cx)