De correlatiecoŽfficiŽnt r.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Voor de covariantie  Cov(x, y) = σxy  vonden we de volgende formule:
   

   
Het blijkt dat deze covariantie aardig aangeeft hoe "goed" de punten op een lijn liggen. Dat kun je al een beetje inzien door de figuur hiernaast te bekijken.
Voor de rode punten is de covariantie negatief, omdat Δxi en Δyi en tegengesteld teken hebben, voor de groene punten is de covariantie positief want daar hebben Δxi en Δyi het zelfde teken (rechtsboven beiden positief, linksonder beiden negatief) .

Dat betekent dat de punten van een zelfde kleur elkaar "versterken" in de covariantie. Veel rode punten zal een grote negatieve covariantie geven, en veel groene punten een grote positieve covariantie.

Maar veel punten van een zelfde kleur betekent ook een grote correlatie! Immers dan ligt de puntenwolk grotendeels "dezelfde kant op". Rode punten geeft een negatieve r, groene punten een positieve.

Het lijkt erop dat de correlatiecoŽfficiŽnt en de covariantie zo ongeveer hetzelfde doen.......
   
Zullen we voor r dan maar gewoon Cov(x,y) nemen?
   
Dat zou kunnen, maar dat heeft ťťn levensgroot nadeel.

En dat komt door de schaal.

Kijk, stel dat we bijvoorbeeld de lengte en het gewicht van mensen hebben gemeten en daarvan een prachtige puntenwolk hebben gemaakt. Op de x-as staat bijvoorbeeld de lengte in cm en op de y-as het gewicht in kg. We hebben zelfs de covariantie bij deze puntenwolk uitgerekend...
Maar als onze buurvrouw met precies dezelfde gegevens de lengte niet in centimeters maar in meters op de x-as zet, dan krijgt zij natuurlijk precies dezelfde puntenwolk, maar al haar  Δxi zijn 100 keer zo klein, dus ook haar covariantie!

Dat kŠn natuurlijk niet!

Bij dezelfde vorm van de puntenwolk moet dezelfde r horen. Dit probleem is te voorkomen door de covariantie te delen door de breedte van de x-waarden. En daarvoor nemen we.....juist!....uiteraard!!....de standaarddeviatie σx natuurlijk!!!
Dan veranderen we eigenlijk alle Δxi van een absolute afstand naar hoeveelste deel van de x-breedte het is. Dan is dat niet meer van de schaal afhankelijk.

En voor de y-schaal geldt natuurlijk precies hetzelfde. Daarom delen we de covariantie ůůk door σy
HŤ hŤ, dat geeft dan eindelijk een goede waarde voor r:
   

   
Daarmee hebben we natuurlijk nog niet verklaard waarom bij een perfecte rechte lijn r = 1 of r  = -1 zal horen. Of zelfs niet waarom bij een rechte lijn r maximaal zal zijn......
In de verdieping hiernaast laten we daar een voorbeeld van zien, en zelfs een soort van "bewijs"......
 
   
  OPGAVEN
   
1. Bereken de correlatiecoŽfficiŽnt van de volgende gegevens:
       
 
x 1 2 3 3 5 6
y 7 5 3 6 5 3
     

r = -0,648

       
2. De volgende tabel geeft voor zeven dagen de hoogst gemeten temperatuur (T in ļC) op die dag en het aantal uren (u) zon.
       
 
T (in ļC) 16 17 17 18 19 20 22
u (in uren) 9 10 11 10 12 11 13
       
  a. Bereken de correlatiecoŽfficiŽnt van deze gegevens.
     

r = 0,864

  b. Je kunt de temperatuur ook uitdrukken in graden Fahrenheit. Daarvoor geldt: F = C ē 1,8 + 32
Verander de temperaturen naar graden Fahrenheit, en laat zien dat r hetzelfde blijft.
       
3. Stel dat je een hele serie meetgegevens hebt met een bepaalde gemiddelde x en y.
Hoe verandert r dan als je er een punt aan toevoegt, dat precies ligt op die gemiddelde x en y?
Bewijs je antwoord met behulp van de formule voor r.
     

NIET

       
4. Leg met behulp van de formule voor r uit, dat de correlatiecoŽfficiŽnt voor een serie punten die precies op een horizontale lijn liggen niet bestaat.

Kun je uitleggen waarom men in dit geval kiest voor r = 0?
       
       
5. Hieronder staat een tabel van drie meetgegevens. De laatste y-waarde is voorlopig onbekend, en is p genoemd.
       
 
x 1 2 3
y 2 4 p
       
  Voor de correlatiecoŽfficiŽnt geldt dan:
 

       
  a. Toon dat aan.
       
  b. Bereken de extreme waarde van de functie r(p) en leg daarna uit waarom je dit resultaat inderdaad had kunnen verwachten.
     

rmax = 1 voor p = 6

       
6. De formule voor de centrale lijn die we eerder vonden ging ervan uit dat x oorzaak was, en y gevolg. 
De formule voor r  is niet afhankelijk van wat oorzaak of wat gevolg is.
Hoe kun je zonder berekeningen dat direct aan deze formule zien?
     

symmetrie in x, y

       
Een verband tussen r en a.
   
Als je de twee formules voor r (de correlatiecoŽfficiŽnt) en a (de helling van de regressielijn) met elkaar vergelijkt dan lijken die nogal op elkaar:
   

   
Daaruit kun je vrij eenvoudig concluderen (bewijs het zelf maar) dat:
   
   
Dat lijkt misschien een beetje een vreemd resultaat. De helling van de beste lijn (a)  hangt af van hoe goed de punten op een lijn liggen (r)???
Toch is dat wel logisch als je het volgende bedenkt.....

Die  σy/σx  is de helling van de centrale lijn.   Die bepaalt de globale afmetingen van de puntenwolk. Immers σy zegt hoe ver de x-waarden uit elkaar liggen (dus hoe breed de puntenwolk is) en σy hoe ver de y-waarden uit elkaar liggen (dus hoe hoog de puntenwolk is). Samen bepaalt dat de "buitenomtrek van de puntenwolk" . Een soort van rechthoek waar de puntenwolk grotendeels in ligt:
   

   
Als je weet dat de punten van je puntenwolk op de linker- rechter- boven- ťn onderrand van de rechthoek moeten liggen, zie je hierboven de maximaal haalbare waarde voor a en ook de minimaal haalbare a.
De r bepaalt vervolgens in hoeverre deze maximale of minimale waarden ook werkelijk bereikt worden. Eigenlijk "hoeveelste deel van de a gehaald wordt".
   
   
7. Hiernaast zie je voor een puntenwolk (die er niet bij is getekend), de centrale lijn en de regressielijn.

Bepaal zo goed mogelijk daaruit de waarde van r.

 

     

r  ≈ -0,4

       
8. De lengte van een koperen staaf wordt gemeten bij verschillende temperaturen.
Dat geeft de volgende tabel:
   
 
temperatuur (in ļC) 20 25 30 35 40 45 50 55 60
lengte (in cm) 180 187 191 192 197 203 205 212 213
       
  a.

Geef een vergelijking van de regressielijn en bereken de correlatiecoŽfficiŽnt.

       
  b. Hoe groot is de som van de kwadraten van  residuen?
       
  Voor een gouden staaf geldt de regressielijn  L = 0,75T + 160 en een correlatiecoŽfficiŽnt van  0,84. De gemiddelde temperatuur van de metingen was  40ļC,  net als bij de koperen staaf hierboven.
       
  c. Geef een vergelijking van de centrale lijn.
       
9. examenvraagstuk VWO Wiskunde A, 1993.

In een Amerikaans laboratorium heeft men proeven genomen waarbij gelet werd op het verband tussen de hoogte van de bewaartemperatuur  (F) in graden Fahrenheit en de werkzaamheid (W) van een bepaald geneesmiddel. Bij temperaturen van 30ļ, 50ļ, 70ļ en 90ļ (Fahrenheit) werden drie porties van gelijk gewicht uit eenzelfde productie 20 dagen bewaard. Na deze periode werd op identieke wijze de werkzaamheid van de porties vastgesteld. De werkzaamheid werd uitgedrukt in percentages van de werkzaamheid zoals die was voor het bewaren.
In de volgende tabel waar de twaalf meetresultaten zijn weergegeven, kan onder andere worden afgelezen dat de drie porties die bij een temperatuur van 30ļ werden bewaard achtereenvolgens 39%, 42% en 35% van hun oorspronkelijke werkzaamheid hadden.

       
 
bewaartemp. (F) 30ļ 50ļ 70ļ 90ļ
werkzaamheid (W) 39, 42, 35 32, 26, 33 19, 27, 23 14, 19, 21
       
  Indien men een rechtlijnig verband veronderstelt, levert dit voor de regressielijn van W op F de
vergelijking W = -0,35F + 48,30.
       
  a. Verwerk de gegevens van de tabel in een spreidingsdiagram en teken daarin de regressielijn.
       
  b. Bereken de correlatiecoŽfficiŽnt tussen W en F.
       
  Het verband tussen de temperatuur in graden Fahrenheit (F) en in graden Celsius (C) wordt vastgelegd door
F = 1,8C + 32.

De regressielijn van W op C heeft de gedaante  W = aC + b waarbij de bewaartemperatuur in graden Celsius wordt gemeten.
       
  c. Bereken a en b in twee decimalen nauwkeurig.
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)