Buigpunten.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Bij veel achtbanen is de vorm van de afdaling als hiernaast. Vanaf de top gaat het steeds steiler naar beneden, om op een gegeven moment weer minder steil te gaan lopen, omdat er natuurlijk ook weer afgeremd moet worden.
Een interessante vraag is natuurlijk:  "Op welk punt  is de baan het steilst?"

Laten we deze vraag meteen maar vanuit dit normale Nederlands naar wiskundetaal vertalen. Dan staat er eigenlijk:  Waar is de helling (negatief) het grootst?
Als je aan de grafiek van de baan hiernaast op een aantal plaatsen de raaklijn tekent, dan zie je dat de helling van die raaklijnen eerst groter(negatief) wordt, en daarna weer minder groot:

Ergens bij een punt P is die helling minimaal.
Maar dat betekent dat de afgeleide minimaal is.....
Als een willekeurige functie ergens een  minimum heeft, dan gaat de grafiek daar over van dalend naar stijgend, dus gaat zijn helling daar van negatief naar positief.
Dus als de afgeleide bij P een minimum heeft, dan gaat de helling dáárvan van negatief naar positief.
Dat betekent dat de afgeleide van de afgeleide van negatief naar positief gaat!!!
De afgeleide van de afgeleide noteren we als f''  (spreek uit:  f-dubbel-accent)

Wat stelt die f''  voor?

De f'' (de helling van de helling) geeft aan hoe snel de helling verandert.

f''  positief : de helling neemt toe.
de grafiek stijgt sneller of daalt minder snel.
de grafiek is HOL.

f'' negatief: de helling neemt af.
de grafiek stijgt langzamer of daalt sneller.
de grafiek is BOL.

Zo'n punt waar de grafiek van HOL naar BOL (of andersom) gaat heet een BUIGPUNT.
Buigpunt:
•  f    gaat van hol naar bol (of andersom).
•  f '  heeft een maximum of een minimum.
•  f ''  wisselt van teken.
Hoe spoor ik zo'n buigpunt op?
Dat gaat vrij eenvoudig via de derde eigenschap in het kader hierboven. Als f ''  van teken moet wisselen, dan kan dat alleen maar als f '' gelijk is aan 0 óf als f ''  niet bestaat. Kortom: je lost op f '' = 0 en maakt een tekenbeeld van f '' . Dan zie je vanzelf waar er tekenwisseling is.

Los op  f '' = 0  en maak een tekenbeeld van f ''

Voorbeeld 1
Geef de buigpunten van  f(x) =  x3 - 6x2
f ' (x) = 3x2 - 12x  en  f '' (x) = 6x - 12
6x - 12 =  0 ⇒  x = 2 en een tekenbeeld van f ''  ziet er uit als hiernaast.

Bij x = 2 wisselt f ''  van teken dus heeft de grafiek van f een buigpunt.
Dat is dan het punt  (2, -16)
Voorbeeld 2
Geef de buigpunten van  f(x) = x4 - 12x3 + 54x2
f ' (x) = 4x3 - 36x2 + 108x  en  f '' (x)  = 12x2 - 72x + 108
12x2 - 72x + 108 = 0  ⇒  x = 3 en een tekenbeeld van f ''  ziet er uit als hiernaast.

Er is geen tekenwisseling, dus geen buigpunt.
Voorbeeld 3
Geef de buigpunten van  f(x) = 3x
f
(x) = x1/3  dus  f ' (x) = 1/3x-2/3  en   f '' (x) =  -2/9x-5/3
Dat is nergens nul, maar bestaat niet bij x = 0. 
Een tekenbeeld van f '' ziet eruit als hiernaast.
Daar zie je dat f een buigpunt heeft bij x = 0.

Dat komt omdat de grafiek eruit ziet als hieronder. In de oorsprong gaat de grafiek inderdaad van hol naar bol, dus daar is een buigpunt. Maar de helling in de grafiek is oneindig groot (de raaklijn is verticaal) dus de afgeleide bestaat daar niet. Dus de tweede afgeleide ook niet.

1. Geef de coördinaten van de buigpunten van de grafieken van de volgende functies:
a. f(x) = x4 + 2x3 - 36x2 + 2  e. f(x) = 2xx - 3x2 + 8x
b. f(x) = 8x2x - 45x2 f. f(x) = 6x5 - 20x3 + 3
c. g.
d. f(x) = x4 + 8x3 + 24x2 h. f(x) = x2 • (1 - √x)
2. Hieronder staat de grafiek van een functie. De plaats van de buigpunten en de extremen is aangegeven.

Vul in de onderstaande tabel overal  = 0  of  < 0  of  > 0   in.
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f                      
f '                      
f ''                      
3. Geef de coördinaten van de buigpunten van de grafieken van de volgende functies:
a. c.
b. f(x) = 162 • lnx + x3 d. f(x) = (x2 - 1) • e2x
   
4. Gegeven zijn de functies fp door:

   
  Voor welke p heeft de grafiek van fp een buigpunt bij x = e3 ?
   
5. Gegeven is de functie  f(x) = xe-x
Geef de vergelijking van de buigraaklijn (dat is de raaklijn in het buigpunt) van de grafiek van f .
6. Iemand beweert dat van een algemene derdegraads functie y = ax3 + bx2 + cx + d  de x-coördinaat van het buigpunt altijd midden tussen de x-coördinaten van beide toppen in ligt.
Onderzoek of dat inderdaad het geval is.
7. De normale verdeling heeft vergelijking

Daarin zijn μ en σ constanten (μ is het gemiddelde en σ de standaarddeviatie)
Toon aan dat de buigpunten van deze verdeling zich bevinden bij x = μ + σ en x = μ - σ
   
8. Gegeven is de functie:

         
  Geef de coördinaten van de buigpunten van de grafiek van f.
         
9. De grafiek van de functie  f(x) = (x2 - a)e2x  heeft twee buigpunten.
Het eerste buigpunt bevindt zich bij x = 1
Geef de coördinaten van het tweede buigpunt.

(-3, 2/e6)

   
10. Gegeven is de functie f(x) = 2xe1 - x
Geef een vergelijking van de buigraaklijn van de grafiek van f.
   
   
11. Hieronder staan van een functie f  de tekenbeelden van f , f ' , en van f ''.
Schets een mogelijke grafiek van f  die daar bij zou kunnen horen.
   
 

 
   
12. Gegeven is de functie f(x) = x4 - 4x3 - px2 - 8x - 2
   
  a. Geef de coördinaten van de buigpunten van de grafiek  f(x) als p = 18
       

(3, -215) (-1, -7)

  b. Waarom heeft de grafiek van f geen buigpunten voor p = -10?
         
  c. Voor welke p heeft de grafiek van f precies één buigpunt?
       

geen

         
13. Gegeven zijn de functies  fa(x) = x3 - 4x2 + a
De buigraaklijn van fa gaat door O.   Bereken a
       

a = -67/24

         
14. Gegeven zijn de functies fa(x)  door:
 

  Toon aan dat de grafiek van  fa  voor geen enkele a een buigpunt heeft.
         
15. Gegeven zijn  de functies  fa(x) = x2 • e -ax 
         
  a. Bereken algebraďsch de x-coördinaten  van de buigpunten van f2
   

1 ± √2

  b. De grafiek van fa heeft twee verschillende buigpunten op horizontale afstand 2 van elkaar.  Bereken a
       

a = 2

     
16. Gegeven is de functie  f(x) =  lnx/x
  Voor de tweede afgeleide van f geldt:    f ’’(x) =   (-3 + 2lnx)/x3 
         
  a. Toon dat aan.
         
  b. Geef een vergelijking van de buigraaklijn van de grafiek van f.
         
17. Gegeven zijn de functies  fa(x) = x3 – 4x2 + 2x + 5
         
  a. Onderzoek algebraďsch of het buigpunt van de grafiek van f midden tussen beide toppen in ligt. (je mag afronden)

       
  Hiernaast zie je de grafiek van f en de lijn
y = 21 – 2x tussen x = 0 en x = 4

De grafieken snijden elkaar bij x = 4

       
  b. Bereken algebraďsch de maximale verticale afstand tussen deze twee grafieken op dit gebied.
         
         
18. Gegeven is de functie  f(x) = ln2x
Voor de tweede afgeleide van f geldt:    f ’’(x) =  (2 - 2lnx)/x
2 
         
  a. Toon dat aan.
         
  b. Geef een vergelijking van de buigraaklijn van de grafiek van f.
         
19. Gegeven is de functie  f(x) =  ln3x
De grafiek van f  heeft twee buigraaklijnen
Geef de vergelijkingen van die buigraaklijnen
         
   
         
Alwéér zo'n superhandige toepassing van de tweede afgeleide.....

Als je maxima of minima aan het zoeken bent, dan stel je (uiteraard)  f '(x) = 0.

Maar als daar dan oplossingen van krijgt, dan weet je nog niet of het nou om een maximum gaat of om een minimum of om een buigpunt.
We losten dat tot nu toe op door een tekenbeeld van f ' te maken en te kijken of die van teken wisselde en zo ja, hoe.
Maar dat kan natuurlijk ook met de tweede afgeleide, want die bepaalt of de grafiek hol (een minimum) of bol (een maximum) loopt.
   
Als f ' = 0 dan geldt:
•  Als f '' > 0 dan is er een minimum.
•  Als f '' < 0 dan is er een maximum.
•  Als f '' = 0 dan is het nog onbekend.
   
Voorbeeld.
Bereken de coördinaten van het maximum van de grafiek van y = 4x3 - 2x2 - 8x - 5
f ' = 12x2 - 4x - 8  en dat is nul als  x = 1  of x = -2/3  (ABC-formule)
f ''
= 24x - 4.
f '' (1) = 20 dus dat is een minimum
f '' (-2/3) = -20 dus dat is een maximum.
Het maximum is  (-2/3, -47/27)     (door in te vullen in f zelf)

Geen tekenbeeld nodig!!!!!.....
 

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)