© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. f(x) = x4 + 2x3 - 36x2 + 2 
f ' = 4x3 + 6x2 - 72x
f '' = 12x2 + 12x - 72 = 0
x2 + x - 6 = 0
(x - 2)(x + 3) = 0
x = 2 ∨ x = -3
In beide gevallen is er tekenwisseling bij f '' dus er is een buigpunt.
dat geeft de buigpunten (2, -110)  en  (-3, -223)		  
       
  b. f(x) = 8x2√x - 45x2 = 8x2,5 - 45x2
f ' = 20x1,5 - 90x
f '' = 30x0,5 - 90 = 0
x0,5 = 3
x = 9
er is een tekenwisseling in f '' dus er is een buigpunt
dat geeft buigpunt  (9, -1701)		  
       
  c. f(x) = 1/6x-2 - 8x2 + 5
f ' = -1/3x-3 - 16x
f '' = x-4 - 16 = 0
x-4 = 16
x = 1/2
er is een tekenwisseling in f '' dus er is een buigpunt
dat geeft buigpunt  (1/2, 32/3)		  
       
  d. f(x) = 2x√x - 3x2 + 8x = 2x1,5 - 3x2 + 8x
f '  = 3x0,5 - 6x
f '' = 1,5x-0,5 - 6 = 0
1,5x-0,5 = 6
x-0,5 = 4
x = 1/16
er is een tekenwisseling in f '' dus er is een buigpunt
dat geeft buigpunt  (1/16, 133/256)		  
       
  e. f(x) = 6x5 - 20x3 + 3
f ' = 30x4 - 60x2
f '' = 120x3 - 120x = 0
120x(x2 - 1) = 0
x = 0 ∨  x = 1 ∨  x = -1 
er is elke keer tekenwisseling in f ''  dus er zijn drie buigpunten.
dat geeft de buigpunten (-1, -23)  en  (0, 3)  en  (1, -11)
       
  f.  
   
    8x5 - 16x3 - 24x = 0
8x(x4 - 2x2 - 3) = 0
8x(x2 - 3)(x2 + 1) = 0
x = 0 ∨  x = √3  ∨  x = -√3
er is elke keer tekenwisseling in f ''  dus er zijn drie buigpunten.
dat geeft de buigpunten  (-√3, -√3)  en (0, 0)  en  (√3, √3)
       
  g. f(x) = x2 • (1 - √x) = x2 - x2,5
f ' = 2x - 2,5x1,5
f  '' = 2 - 3,75x0,5  = 0
2 = 3,75x0,5
x0,5 = 8/15
x = 64/225
er is een tekenwisseling in f '' dus er is een buigpunt
dat geeft buigpunt  (64/225, 32768/759375) 		 
       
2.
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f <0 <0 <0 <0 <0 =0 >0 >0 >0 >0 >0
f ' <0 <0 <0 =0 >0 >0 >0 =0 <0 <0 <0
f '' <0 =0 >0 >0 >0 =0 <0 <0 <0 =0 >0
       
3. a.  
     
    -3 + 2lnx = 0
lnx = 1,5
x = e1,5
er is een tekenwisseling in f ''  dus er is een buigpunt.
het buigpunt is  (e1,5, 1.5/e1.5)		  
       
  b. f(x) = 162 • lnx + x3
f ' = 162/x + 3x2
f '' = -162/x2 + 6x = 0
-162 + 6x3 = 0
x3 = 27
x = 3
er is een tekenwisseling in f '' dus er is een buigpunt.
het buigpunt is  (3, 162ln3 + 27)		  
       
  c. f(x) = e5-x² 
f '(x) = -2xe5-x² 
f ''(x) = -2e5-x² + -2x•-2xe5-x² = e5-x² • (-2 + 4x2) = 0
-2 + 4x2 = 0
x2 = 1/2
x = ±√1/2
er is steeds een tekenwisseling in f '' dus er zijn twee buigpunten.
dat zijn dan de punten (√1/2 , e4,5)  en  (-√1/2 , e4,5)		  
       
  d. f(x) = (x2 - 1) • e2x
f ' = 2xe2x + (x2 - 1)2e2x = e2x • (2x + 2x2 - 2)
f '' = 2e2x • (2x + 2x2 - 2) + e2x • (2 + 4x)
   =  e2x • (4x + 4x2 - 4 + 2 + 4x)
   =  e2x • (4x2 + 8x - 2) = 0

4x2 + 8x - 2 = 0
ABC-formule:  x = (-8 ±√(64 + 32))/8 = -1 ± 1/2√6 = 0,22 of -2,22
er is steeds een tekenwisseling in f '' dus er zijn twee buigpunten.
dat zijn (ongeveer) de punten  (-2.22, 0.046)  en  (0.22, -1.49)		  
       
4.
 
  dat moet nul worden voor x = e3 :    3 + 3p - 2 • 3 = 0
3p = 3
p = 1
       
5. f(x) = x • e-x
f '  = 1 • e-x + -1•x•e-x = e-x(1 - x)
f '' = -e-x(1 - x) + e-x • -1 = e-x (-1 + x - 1) = (x - 2)e-x    
Dat is nul en heeft tekenwisseling als x = 2
x = 2 geeft helling  f '(2) = e-2 (1 - 2) = -e-2  dus de raaklijn is  y = -e-2 • x + b
x = 2 geeft raakpunt f(2) = 2e-2
2e-2 = -e-2 • 2 + b  ή  b = 4e-2 
de raaklijn is de lijn y = -e-2x + 4e-2
       
6. y = ax3 + bx2 + cx + d

y ' = 3ax2 + 2bx + c
dat is een parabool met twee nulpunten, en midden daartussen in ligt  x = -b/2a = -2b/6a = -b/3a  

y '' = 6ax + 2b en dat is nul als  x = -2b/6a = -b/3a

Het buigpunt ligt inderdaad midden tussen beide toppen.
       
7. noem de constanten even c en d , dan staat er  y = c • e-d(x - m)²
y' = -2d(x - μ)ce-d(x - μ)²
y'' = -2d ce-d(x - μ)² + -2d(x - μ)• -2d(x - μ)•ce-d(x - μ)² = 0
ce-d(x - μ)²• {-2d + 4d2• (x - μ)2} = 0
-2d + 4d2• (x - μ)2 = 0
(x - μ)2 = 2d/4d²  =  1/2d
d = 1/2σ2  geeft dan   (x - μ)2 = σ2
x - μ = ± σ
x = μ ± σ
       
8. f(x) = (x2 - x)1/3
f ' (x) = 1/3 • (x2 - x)-2/3 • (2x - 1)
f '' (x) = 1/3 • -2/3(x2 - x)-5/3 • (2x - 1) • (2x - 1) + 1/3 • (x2 - x)-2/3 • 2 = 0
1/3(x2 - x)-5/3 • {-2/3 • (2x - 1)2 + 2/3 • (x2 - x) } = 0
(x2 - x) = 0   ∨   2/3(-4x2 + 4x - 1 + x2 - x) = 0
x(x - 1) = 0  ∨   -3x2 + 3x - 1 = 0
x = 0  ∨ x = 1  en dat laatste stuk heeft geen oplossing.
de buigpunten zijn  (0, 0)  en  (1, 0) 
       
9.  f(x) = (x2 - a)e2x 
f ' = 2xe2x + (x2 - a)2e2x = e2x • (2x + 2x2 - 2a)
f '' = 2e2x(2 + 2x2 - 2a) + e2x•(2 + 4x) = e2x • {4 + 4x2 - 4a + 2 + 4x}
Dat moet nul zijn voor x = 1:   4 + 4 - 4a + 2 + 4 = 0   
4a = 14
a = 31/2
4 + 4x2 - 4 • 31/2 + 2 + 4x = 0
4x2 + 4x - 8 = 0
x2 + x- 2 = 0
(x - 1)(x + 2) = 0
x = 1  ∨  x = -2
het tweede buigpunt is  (-2, 1/2e-4)
       
10. f(x) = 2x • e1 - x
f ' = 2e1- x + 2x • -1 • e1 - x  =  e1-x • (2 - 2x)
f '' = -e1 - x (2 - 2x) + e1-x • -2  =  e1 - x • (-2 + 2x - 2) = e1 - x • (2x - 4) = 0
dat geeft  2x - 4 = 0  ή  x = 2
Het buigpunt bevindt zich bij x = 2
f '(2) = e1-2 • (2 - 4) = -2e-1  dus de buigraaklijn is  y = -2e-1x + b
f(2) = 4 • e-1  dus  4e-1 = -2e-1 • 2 + b ή  b = 8e-1
de buigraaklijn is de lijn  y = -2e-1x + 8e-1    
       
11.

       
  zoiets. De stippen komen overeen met de stippen op de tekenbeelden.
       
12. a.  f(x) = x4 - 4x3 - 18x2 - 8x - 2
f '  = 4x3 - 12x2 - 36x - 8
f ''  = 12x2 - 24x - 36 = 0
x2 - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x = 3  ∨ x = -1
Dat geeft de buigpunten  (-1, -7)  en  (3, -215)		  
       
  b.  f(x) = x4 - 4x3 + 10x2 - 8x - 2
f '  = 4x3 - 12x2 + 20x - 8
f '' = 12x2 - 24x + 20 = 0
de discriminant is  242  - 4 • 12 • 20 = -384 dus dat heeft geen oplossingen
       
  c. Voor geen enkele!
f '' is een parabool, en als die precies ιιn snijpunt met de x-as heeft, dan is er geen tekenwisseling, dus geen buigpunt.
       
13. fa(x) = x3 - 4x2 + a
f '  = 3x2 - 8x
f '' = 6x - 8 = 0
Dat geeft x = 8/6 = 4/3
f '(4/3) = -51/3 dus de raaklijn is  y = -51/3x + b
Als die door de oorsprong gaat, dan is b = 0, dus is de raaklijn  y = -51/3x
Die gaat door (4/3, -71/9) dus daar moet de grafiek ook door gaan
(4/3)3 - 4 • (4/3)2 + a = - 71/9
-128/27 + a = -71/9
a = -64/27
       
14.
 
  Dat is 0 als   (2ax + 2a)(x + 1) - 2(ax2 + 2ax + 2) = 0
2ax2 + 2ax + 2ax + 2a - 2ax2 - 4ax - 4 = 0
2a - 4 = 0
a = 2 is dus de enige mogelijkheid.
 
  De grafiek is dan een rechte lijn en heeft geen buigpunt.
       
15. a. f(x) = x2 • e -√2x 
f ' = 2xe-√2x  +  x2 • -√2 • e-√2x = e-√2x •{2x - x2√2)
f '' = -√2e-√2x (2x - x2√2) + e-√2x (2 - 2x√2) = 0

e-√2x • {-√2(2x - x2√2) + (2 - 2x√2)) = 0
-2x√2 + 2x2 + 2 - 2x√2 = 0
x2 - 2x√2 + 1 = 0

ABC-formule:   x = (2√2 ± √(8 - 4))/2 = √2 ± 1
       
16. a.  
   
       
17. a. x3 – 4x2 + 2x + 5
f ' =  3x2 - 8x + 2
f ' = 0  ⇒ (ABC)  x =  (8 ±√40)/6 = 4/3 ± 1/6√40  en daar midden tussenin ligt x = 4/3 
De toppen zijn ongeveer  (2.386, 0.583)  en   (0.279, 5.268)
Daar midden tussenin ligt  (4/3, 2.926)

f '' = 6x - 8   dus een buigpunt bij  x = 8/6 = 4/3    en dan is y = 2.926
Het buigpunt ligt inderdaad midden tussen beide toppen.
       
  b. De afstand is 21 - 2x - (x3 - 4x2 + 2x + 5)  en die is maximaal als de afgeleide daarvan nul is:
-2 - 3x2 + 8x - 2 = 0
3x2 - 8x + 4 = 0
x =  (8 ± √(16))/6 = 2 of  2/3
x = 2  geeft  afstand  16
x = 2/3  geeft afstand 400/27 = 14,81
De maximale afstand is 16
       
18. a. f ' =  2lnx • 1/x =  2lnx/x  (met de kettingregel)
f ''  =  (2 • 1/x • x - 2lnx • 1)/x2  =  (2 - 2lnx)/x2   (met de quotiλntregel 
       
  b. buigpunt:   2 - 2lnx = 0  ⇒  lnx = 1  ⇒   x = e
buigpunt dus  (e, 1)
afgeleide  f '(e) = 2lne/e = 2/e  dus de buigraaklijn is de lijn  y = 2/e • x + b
buigpunt invullen:   1 = 2/e • e + b   geeft  b = -1
de buigraaklijn is de lijn   y = 2/e • x - 1
       
19. f ' =  3ln2x • 1/x  
f ''  =   (6lnx • 1/x • x - 3ln2x • 1)/x2
dat is nul als    6lnx - 3ln2x =  0
3lnx • (2 - lnx) = 0
lnx = 0  ∨  lnx = 2
x = 1  ∨  x = e2

x = 1  geeft  buigpunt  (1, 0)
f '(1) = 0   dus de buigraaklijn is de lijn   y = b  dus dat moet wel de lijn  y = 0 zijn

x = e2  geeft  buigpunt  (e2 , 8)
f '(e2 ) = 12/e2  dus de buigraaklijn is de lijn  y = 12/e2 • x + b
buigpunt invullen:  8 = 12/e2 • e2 + b  geeft  b = -4
de buigraaklijn is  y = 3/e2 • x - 4
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)