Bolsegment.

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Een bolsegment is een deel van een bol dat zich tussen twee evenwijdige vlakken bevindt.

De inhoud daarvan kun je vrij makkelijk berekenen door een cirkel om te wentelen en met een integraal de inhoud van het omwentelingslichaam te bepalen. Maar dat is natuurlijk geen uitdaging......
Deze les gaan we een meetkundige manier vinden om die inhoud k te bepalen.

In het voetspoor van Archimedes.....

Om de inhoud daarvan te berekenen gaan we eerst een formule afleiden voor de inhoud van een bolkapje (je ziet vast al wel dat je dan daarna zo'n bolsegment kunt krijgen door twee van die bolkapjes van elkaar af te trekken., net zoals je de inhoud van een afgeknotte kegel kreeg door twee kegels van elkaar af te trekken)
       

       
Maar als je de tekeningen in het midden en rechts met elkaar vergelijkt, dan zie je dat zo'n bolkapje op zijn beurt weer bestaat uit een bolsector waar een kegel vanaf is gehaald.
Laten we de drie bovenstaande figuren van rechts naar links gaan berekenen:
       
1. Bolsector.
       
Als je een bol opgebouwd denkt uit allemaal superkleine piramidetjes met de top in het middelpunt van de bol, dan krijg je een tekening ongeveer zoals hiernaast (alleen dan eigenlijk met nog veel meer zulke piramidetjes).

Een bolsector krijg je dan door een deel van de oppervlakte van de bol te nemen met een cirkelvormige rand, en de punten van die rand allemaal naar het middelpunt van de bol te trekken. Zo'n bolsector bestaat uit een heleboel van die kleine piramidetjes.

Maar omdat al die piramidetjes gelijkvormig zijn, geldt dat de inhoud van die bolsector evenredig is met het aantal piramidetjes erin, dus ook met de grootte van het oppervlakte deel van de bol.
Daarom geldt:

     

   
       
De inhoud van de hele bol kennen we al; die is 4/3πR3  en de oppervlakte ook; 4πR2
Als we nou de oppervlakte van het deel van de bol kunnen vinden, dan weten we dus ook de inhoud daarvan.
   

En die oppervlakte kennen we al!

In deze verdieping over de oppervlakte van een bol zagen we al dat de oppervlakte van zo'n rood strookje op de bol hiernaast gelijk is aan de oppervlakte van datzelfde rode strookje op de cilinder die om de bol heen past.

       
       
Dat betekent dat de oppervlakte van het deel van de bol hiernaast gelijk is aan  2πRh, want dat is de oppervlakte van die cilindermantel eromheen.

Invullen in de verhoudingen hierboven geeft:

   
       
2.  Bolkapje.
 
Dat bolkapje is gelijk aan de bolsector min een kegel met grondvlak πr2  en hoogte  R - h (zie hiernaast),

Die kegel heeft inhoud  1/3πr2(R - h).

In de figuur hiernaast geeft Pythagoras dat  R2 = r2 + (R - h)2
Daaruit volgt  r2 = 2Rh - h2 
Invullen geeft dan voor de kegelinhoud:  I =  1/3π(2Rh - h2)(R - h)

Voor het bolkapje trekken we die kegel van de bolsector af:
inhoud kapje =  2/3πR2h - 1/3π(2Rh - h2)(R - h)
uitwerken:    1/3π(2R2h - 2R2h + 2Rh2 + Rh2 - h3) = 1/3πh2(3R - h)

       
3. Bolsegment.
       
Wil je nu de inhoud van een bolsegment tussen twee evenwijdige vlakken op afstanden h1 en h2 vanaf de oppervlakte van de bol berekenen dan trek je twee zulke bolkapjes van elkaar af.

Ik denk trouwens dat jou dat wel zal lukken.....daar heb je mijn hulp niet voor nodig.
       
       
       
  OPGAVEN
       
1. Een bol met straal 6 ligt op een tafelblad. De bol wordt doorsneden door twee vlakken die evenwijdig aan het tafelblad lopen op afstanden van 8 en 9 vanaf het tafelblad.
Bereken de inhoud van het bolsegment tussen deze twee vlakken.
     

292/3π

   
2. Iemand wil van een bol met straal 10 cm een kapje afsnijden waarvan de inhoud 25% is van de inhoud van de bol.
Op welke afstand van het middelpunt van de bol moet hij zijn snijvlak dan kiezen?
     

3,47 cm

3. Een gele kegel met een grondvlak met straal 8 en hoogte 15 wordt op de kop in een bol gestoken, zodat de top van de kegel precies samenvalt met het middelpunt van de bol. Zie de figuur hiernaast.

De bol heeft straal 6.

Dan heeft de groene snijcirkel straal 48/17

     
  a. Toon dat aan.
     
  b. Bereken de inhoud van het deel van de bol dat zich binnen de kegel bevindt. Geef je antwoord in 2 decimalen
     

9,02

       
4. Van een bol wordt door twee evenwijdige vlakken op afstand h van elkaar een bolsegment afgesneden.
De straal van de onderkant is gelijk aan a en de straal van de bovenkant is gelijk aan b.
Dan is de inhoud gelijk aan   I = 1/6πh(3a2 + 3b2 + h2)   

Toon dat aan.
       
     

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)