h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. Het kapje met hoogte h = 3 heeft inhoud 1/3 π 32(18 - 3) = 45π
Het kapje met hoogte h = 4 heeft inhoud 1/3 π 42(18 - 4) = 742/3π

Het bolsegment heeft dan inhoud   742/3π - 45π = 292/3π
       
2. De inhoud van de bol is  4/3  π 103
25% daarvan is 3331/3π
Dus moet gelden:  1/3  π h2(30 - h) = 3331/3π
h2(30 - h) = 1000
tijd voor de GR:
Y1 = X^2*(30 - X)
Y2 = 1000
intersect geeft h = 6,527
Dan moet hij zijn mes op  10 - 6,527 = 3,473 cm vanaf het middelpunt zetten
       
3. a. zie het vooraanzicht hiernaast (de afmetingen zijn niet op ware grootte getekend).
MR2 = 152 + 82  = 289  dus  MR = 17
uit gelijkvormigheid volgt dat  x/6 = 8/17  dus  x = 48/17

     
  b. MQ2 + x2 = 62
MQ2 = (36 - (48/17)2) 5,29
Dan is PQ = 6 - 5,29 = 0,71  en dat is de hoogte van het bolsegment.

inhoud = 1/3 π 0,712 (18 - 0,71) ≈ 9,02
       
4. r2 = MD2 + a2  dus  MD2 = r2 - a2  en  MD = (r2 - a2)
Op dezelfde manier is  MC = (r2 - b2)
h = MC - MD = (r2 - b2) - (r2 - a2)

ED = r - MD = r - (r2 - a2)
De inhoud van het bolsegment boven BD is 1/3π(r - (r2 - a2))2(3r - r + (r2 - a2))
= 1/3π(r - (r2 - a2))2(2r + (r2 - a2))

op dezelfde manier is de inhoud van het bolsegment boven AC gelijk aan:
1/3π(r - (r2 - b2))2(2r + (r2 - b2))
       
  het bolsegment  tussen de vlakken heeft inhoud  
1/3π(r - (r2 - a2))2(2r + (r2 - a2)) - 1/3π(r - (r2 - b2))2(2r + (r2 - b2))

haakjes wegwerken maar:
1/3π { (r2 - 2r(r2 - a2) + r2 - a2 )(2r + (r2 - a2))  - (r2 - 2r(r2 - b2) + r2 - b2)(2r + (r2 - b2)) }
= 1/3π { (2r2 - 2r(r2 - a2) - a2 )(2r + (r2 - a2))  - (2r2 - 2r(r2 - b2) - b2)(2r + (r2 - b2)) }
= 1/3π { 4r3 + 2r2(r2 - a2) - 4r2(r2 - a2) - 2r(r2 - a2) - 2a2r - a2(r2 - a2)
               - 4r3 - 2r2(r2 - b2) + 4r2(r2 - b2) + 2r(r2 - b2) + 2b2r + b2(r2 - b2)  }
= 1/3π {-2r2(r2 - a2) - 2r(r2 - a2) - 2a2r - a2(r2 - a2)
               + 2r2(r2 - b2) + 2r(r2 - b2) + 2b2r + b2(r2 - b2)  }
= 1/3π { 2r2 ((r2 - b2) - (r2 - a2)) - 2r(r2 - a2 + a2 - r2 + b2 - b2) - a2(r2 - a2) + b2(r2 - b2) }
= 1/3π {2r2 h - a2(r2 - a2) + b2(r2 - b2)}  ....(1)

Hier stoppen we eerst, en we gaan nu vanaf de gegeven formule "terugwerken" :

1/6πh(3a2 + 3b2 + h2)   
=
1/6π  h (3a2 + 3b2 + ((r2 - b2) - (r2 - a2))2
= 1/6π    h (3a2 + 3b2 + r2 - b2 + r2 - a2 - 2(r2 - b2 )(r2 - a2))
= 1/6π h (2a2 + 2b2 + 2r2 - 2(r2 - b2 )(r2 - a2))
= 1/3π ((r2 - b2) - (r2 - a2)) (a2 + b2 + r2 - (r2 - b2 )(r2 - a2))
= 1/3π { a2(r2 - b2) + b2(r2 - b2) + r2(r2 - b2) - (r2 - b2)(r2 - a2)
        - a2(r2 - a2) - b2(r2 - a2) - r2(r2 - a2) + (r2 - a2)(r2 - b2) }
het rode en blauwe valt weg, het groene en paarse kun je samennemen:
1/3π {b2(r2 - b2) + 2r2(r2 - b2) - 2r2(r2 - a2- a2(r2 - a2)}
1/3π {2r2((r2 - b2) - (r2 - a2)) - a2(r2 - a2) + b2(r2 - b2)}
1/3π {2r2h - a2(r2 - a2) + b2(r2 - b2)}

En dat is inderdaad gelijk aan (1).
       
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)