annuiteiten


Annuïteiten.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Stel je hebt een som geld geleend, die je in de loop van de tijd moet terugbetalen met rente. Je hebt bijvoorbeeld om een huis te kunnen kopen een bedrag van €200.000,- geleend, en moet dat terug gaan betalen, terwijl je ook nog eens jaarlijks 6,4% rente moet betalen.
Stel verder dat je besluit elk jaar het zelfde bedrag A af te lossen (zo'n bedrag heet een annuïteit).

Het eerste jaar moet je 0,064 · 200000 = 12800 aan rente betalen, dus blijft er nog A - 12800 over om af te lossen.
Je nieuwe schuld is dan 200000 - (A - 12800) = 212800 - A geworden.

Wacht, dat kan algemener......

Laten we het geleende bedrag S (van schuld) noemen, en de schuld die na n afbetalingen nog over is noemen we dan S_n
Dus in bovenstaand voorbeeld is S = 200000 en S₁ = 212800 - A
Noem verder de rentevoet r (in het voorbeeld is r = 0,064)

Na n afbetalingen is de schuld S_n dus voor de volgende afbetaling is de rente r · S_n
Om af te lossen blijft er dan nog A - r · S_n over
De nieuwe schuld wordt dan S_n_{+ 1} = S_n - (A - r · S_n ) = S_n · (1 + r) - A.
Dat is een lineaire recursievergelijking:

S_n_{+ 1} = S_n · (1 + r) - A.

In het begin van deze les kun je zien hoe je daar een directe formule voor maakt.
Het resultaat daarvan was de volgende directe formule voor S_n:

Nou is het voor mensen die geld lenen (en trouwens ook voor mensen die geld uitlenen aan anderen) interessant om te weten wanneer de schuld NUL is geworden. Laten we daarom S_n gelijkstellen aan nul:

⇒ r (1 + r)ⁿ × S = A × ((1 + r)ⁿ - 1)

Daarmee kun je berekenen welk bedrag je per jaar moet betalen om een lening van S in n jaren af te lossen.

Voorbeeld van hierboven.
Ik heb €200.000,- geleend en moet daar 6,4% rente over betalen. Stel dat ik dat bedrag in 15 jaar wil terugbetalen.

Dus ik moet 15 jaar lang elk jaar €21143,12 aflossen.

Het verloop van de aflossing.

Met de formule hierboven kun je gemakkelijk berekenen hoeveel je elk jaar moet aflossen als je €100000 hebt geleend tegen 8% rente, die je in 10 jaar wilt aflossen. Daar komt een annuïteit van €14902,95 uit, reken dat zelf maar na.
In de volgende tabel zie je hoe die aflossing in tien jaar verloopt.

jaar	rente = 0,08 • restschuld	aflossing = 14902,95 - rente	restschuld = restschuld - aflossing
1	0,08 • 100000 = 8000	14902,95 - 8000 = 6902,95	100000 - 6902,95 = 93097,05
2	7447,76	7455,18	85641,87
3	6851,35	8051,60	77590,27
4	6207,22	8695,73	68894,54
5	5511,56	9391,39	59503,15
6	4760,25	10142,70	49360,46
7	3948,84	10954,11	38406,34
8	3072,51	11830,44	26575,90
9	2126,07	12776,88	13799,03
10	1103,92	13799,03	0

Hier vind je trouwens een Excel-werkblad dat die berekeningen voor je maakt.
Die derde kolom (met de aflossingen) is eigenlijk wel erg interessant: daar staat exponentiële toename met factor 1,08 (de rente natuurlijk!). Dat maakt het mogelijk om snel een directe formule voor de n^de aflossing en voor de n^de restschuld te maken.

De eerste aflossing is gelijk aan (A - S • r) dus de n^de aflossing is gelijk aan (A - S • r) • 1,08^n-1

De restschuld na n aflossingen is gelijk aan het geleende bedrag S min de som van die n aflossingen. En die som van de eerste n aflossingen kun je natuurlijk makkelijk vinden met de somformule voor een meetkundige reeks.

OPGAVEN

Iemand leent een bedrag van €350.000,- tegen een rente van 5%. In 25 jaar wil hij alles afgelost hebben.

Hoeveel moet hij jaarlijks afbetalen?

€24833,36

Hoeveel schuld is er na 10 jaar afbetalen nog overgebleven?

€257761,79

Het kan natuurlijk ook voorkomen dat je al weet hoeveel je wilt lenen tegen welke rente, en ook wat je maximaal als annuïteit kunt betalen. Dan kun je berekenen hoe lang het gaat duren voordat de hele lening is afgelost.

Stel een formule op voor de looptijd n van een lening als functie van de leensom S, de rente r en de annuïteit A.

Iemand stort een som S op een rekening en krijgt daar 6% rente op. Hij wil er elk jaar een bedrag van €3000,- van afhalen en na 9 jaar mag de rekening leeg zijn. Hoeveel moet hij dan nu minstens storten?
Leg uit dat dit ook in feite een annuïteitenprobleem is, en los het probleem op.

€20405,08

Iemand leent 250.000,- over een looptijd van 18 jaar. De jaarrente is 7%.
Bereken eerst de maandrente en vervolgens de maandlast.

0,5654%
€2007,45