Nieuwe pagina 1


	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Afleiding van de Poissonverdeling.

Voor de binomiale verdeling geldt:

Noem nu m = N · p = gemiddeld aantal successen. Dan is p = ^m/_N en die kun je in bovenstaande formule vervangen:

Verwissel nu de k! uit de eerste factor met de N^kuit de tweede:

Het wordt interessant als je N naar oneindig laat gaan. Die hele eerste breuk gaat dan naar 1 omdat alleen die N-getallen van belang zijn. Dat -1 en -2 en -3 en ...-k + 1 doet er niet toe (is te verwaarlozen) als N oneindig groot wordt. Dus staan er in de teller k N-waarden en in de noemer ook. Dat wordt samen dus 1, en dat geeft:

Maar ook die laatste term wordt 1. Omdat N naar oneindig gaat gaat dat tussen haakjes naar 1. En omdat k een eindig getal is, staat daar eigenlijk 1^-k = 1. Dus we zijn nu bij:

Je kunt bij dit laatste stuk niet precies zo'n redenering toepassen omdat, als N naar oneindig gaat, ook de macht naar oneindig gaat. Kijk, als je hebt a^b , en a gaat naar 1, dan zal dat voor constante b wel op den duur ook naar 1 gaan. Maar als b tegelijkertijd naar oneindig gaat, wat dan? Oftewel: hoeveel is (bijna 1)^{(bijna oneindig)} ?

Dat is niet zomaar te zeggen, maar gelukkig kun je in d eze les ontdekken dat er in dit geval e^-m uitkomt.

Dus voor het aantal successen X op interval [0, 1] bij een gemiddelde van m successen: geldt

En daar is al de formule van de Poissonverdeling.
Hier zie je er een aantal voor verschillende waarden van m (die m wordt in artikelen over de Poissonverdeling trouwens om één of andere reden meestal λ genoemd. Ik blijf eigenwijs m gebruiken om mij eraan te herinneren dat het een gemiddelde is).

Waarschuwing: deze krommen zijn continu getekend, maar gelden natuurlijk eigenlijk alleen voor gehele waarden van k (= aantal successen). Je mag dus alleen de snijpunten met de verticale roosterlijnen bekijken.....