© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Een officiëlere definitie van de afgeleide.
       
Ooit begonnen we de helling van een grafiek te berekenen door  Δy/Δx  te berekenen tussen het punt waar je de helling wilde weten en een punt vlak ernaast (dat was in deze les)

Dat "vlak ernaast"  klinkt alleen nogal onwetenschappelijk, vind je niet? 
Deze les gaan we dat wat preciezer afspreken.

De hoofdformule voor de afgeleide ziet er zó uit:
       

       
Dat lijkt vrij ingewikkeld, maar eigenlijk staat daar niets anders dan  dat "punt vlak ernaast nemen"

Kijk maar:
  Het gaat om het punt x = a  dus dan is  y = f(a)
We nemen een klein stukje dx ernaast  dus dan hebben we als nieuwe x nu  a + dx
Daar berekenen we de y dus dat is  f(a + dx)
Dat geeft de 2 punten  (a, f(a))  en  (a + dx, f(a + dx))
Als je met die twee punten  Δy/Δx berekent krijgt je precies de formule hierboven, want (a + dx) - a  geeft precies de dx van de noemer.
       
Blijft nog over dat eerste stukje met lim en dx ® 0
Daar staat niets anders dan dat je dx zo klein mogelijk moet nemen. Hoe kleiner des te beter, maar helemaal nul kan niet want dan staat er in de formule  0/0. In deze les over het begrip limiet staat daar meer over.

De formule in werking.
 

Voorbeeld 1.   De afgeleide van f(x) = x2   is  f '(x) = 2x,  kijk maar:

       
Voorbeeld 2.  De afgeleide van f(x) = x3  is  f '(x) = 3x2 ,  kijk maar:

       
Voorbeeld 3.  De afgeleide van f(x) = 1/x  is  f ' (x) = -1/x²,  kijk maar:

waarbij in  die laatste stap is gebruikt dat  xdx  naar nul gaat als dx naar nul gaat.
       
Voorbeeld 4.  De afgeleide van  f(x) = √x  is  f '(x) = 1/2√x,  kijk maar:

       
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)