Toename in een punt.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

We gaan proberen de helling van een grafiek in een bepaald punt  te berekenen.

Nou is dat een beetje raar natuurlijk want in één punt is er immers helemaal geen helling? Een helling is altijd tussen twee punten in!
Toch zal iedereen het ermee eens zijn dat de grafiek hiernaast aan de rechterkant (bijvoorbeeld bij punt P in de buurt) een grotere helling heeft (steiler loopt) dan aan de linkerkant (bijvoorbeeld bij punt Q).

We gaan proberen de helling van de grafiek in punt P te berekenen.
Dat doen we als volgt:

Bereken eerst de helling van PQ. Dat kan met een differentiequotiënt  Δy/Δx.
Laat nu punt Q langzaam richting P lopen.
Bereken achtereenvolgens de hellingen van PQ2, PQ3, PQ4, ...
Tegen die tijd heb je een vergrootglas nodig om het verschil tussen de rode lijnen PQ en de grafiek zelf nog te zien. Die rode lijntjes liggen zo goed als "boven op de grafiek"

Dat laatste gaan we gebruiken voor de helling:

Als Q maar dicht genoeg bij P ligt,
dan is de helling van PQ gelijk aan de helling van de grafiek.

   
We zeggen eigenlijk dat de helling van de grafiek gelijk is aan de helling van de raaklijn  (de blauwe lijn hiernaast) Dat is de lijn die in punt P "tegen de grafiek aan" ligt. Je ziet dat de hellingen van PQ, PQ2, PQ3 enz. steeds meer gaan lijken op de helling van de raaklijn.

Laten we ze gaan berekenen.

De grafiek hoort bij de formule  y = 4 + x2

Daarmee kun je bij elk punt Q als je de xQ weet de bijbehorende yQ berekenen, en daarna de helling PQ met Dy/Dx waarbij P = (3, 13)
Dat geeft deze tabel:

  Q Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 ...
coördinaten (0.5, 4.25) (1, 5) (2, 8) (2.6, 10.76) (2.9, 12.41) (2.99, 12.9401) (2.999, 12.994001) ...
helling PQ 3,5 4 5 5,6 5,9 5,99 5,999 ...
Je ziet dat de helling van PQ gelijk wordt aan 6 (wie het nog niet vertrouwt rekent nog maar een paar punten Q extra uit, steeds dichter bij P). Daarom zeggen we dat de grafiek van y = 4 + x2  in het punt P(3, 13) helling 6 heeft. Dat is dus eigenlijk de helling van de blauwe raaklijn.
Dat geeft het volgende recept om de helling van een grafiek in een punt uit te rekenen:

Voorbeeld.

Bereken de helling van de grafiek van y = 3x3 + 2x in het punt waar x = 2

xP = 2  geeft  yP = 3 • 23 + 2 • 2 = 28 dus  P = (2, 28)
Neem xQ vlak naast xP, bijv. xQ = 2,001
Dat geeft  yQ = 3 • 2,0013 + 2 • 2,001 = 28,038018
dus Q = (2.001, 28.038018)
Δy/Δx = (28.038018 - 28)/(2.001 - 2) = 38,018
De helling in P is dus ongeveer 38.

Het kan uiteraard ook op de GR. daarvoor moet je de formule invoeren bij Y1,
en daarna  calc - dy/dx, en vervolgens toets je de waarde van xP in, gevolgd door ENTER.

   
De definitie van de afgeleide.
   
Die helling van een grafiek in een punt heet ook wel de afgeleide. Als de functie f heet, dan noemen we de afgeleide meestal f '  (spreek uit "f-accent").
Dus  f '(3)  betekent bijvoorbeeld:  de helling van de grafiek van f  bij de waarde x = 3.

Die kunnen we nu al op twee manieren uitrekenen:  met een "punt vlak ernaast"  of met de GR via calc - dy/dx
Met die methode van het punt-vlak-ernaast kunnen we een mooie officiële formule voor f ' maken.

Dat gaat zo:
• Noem de functie f
Neem het punt (x, y) ; dat is dan het punt  (x, f(x))
• Kies een x vlak ernaast.  We namen in de voorbeelden meestal 0,001. Laten we die miniscuul kleine afstand dx noemen.
• Dan heeft het punt vlak ernaast de x-waarde  x + dx
Daarbij hoort de y-waarde  f(x + dx)  immers dat punt moet óók op de grafiek van f liggen.
• Dan geldt voor de helling:

   
Met daarbij uiteraard nog in gedachten dat die dx zo klein mogelijk genomen moet worden. Deze mooie definitie van de helling (de afgeleide) zullen we later nog vaak tegenkomen:
   
Een vergelijking van een raaklijn opstellen.
Van de raaklijn in een punt van de grafiek (die blauwe lijn boven) kunnen we nu natuurlijk makkelijk een formule opstellen, immers we kennen zijn helling al: die is natuurlijk gelijk aan de helling van de grafiek.

Verder weten we dat het een rechte lijn is, dus de formule ervan zal er uitzien als  y = ax + b immers zo ziet elke rechte lijn eruit.
Om b te vinden moeten we een punt van de raaklijn invullen.

Hebben we zo'n punt?

Ja natuurlijk: dat punt waar hij de grafiek raakt kunnen we gebruiken, daar gaat hij immers door!  Hiernaast staat een voorbeeldje. Reken die a = 38 zelf maar na.
voorbeeld
"Geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van y = 3x3 + 2x in het punt waar x = 2" :
•  y = ax + b
•  a = 38 dus  y = 38x + b
• 
Vul het punt (2, 28) in:
•  28 = 38 • 2 + b  ⇒  b = -48
•  Dus y = 38x - 48
   
  OPGAVEN
1. Ik heb een aantal dagen de hoogte van een zonnebloem in mijn tuin bijgehouden. De gegevens staan in de grafiek hiernaast. Beantwoord de volgende vragen met behulp van deze grafiek.

a. Hoe snel groeit de zonnebloem op t = 10?
     
b. Hoe groot was de gemiddelde groeisnelheid tussen
t
= 10 en t = 30?
Is er een moment geweest waarop de zonnebloem met deze snelheid groeide? Zo ja, wanneer, zo nee, waarom niet?
     
c. Wanneer groeide de zonnebloem met een snelheid van  
4 cm/dag?
2. a. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) =  x2 - 3x  in het punt waar x = 5.
     
b. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) =  2√x - x   in het punt waar x = 4.
     
c. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) = 1,4x  in het punt waar x = 2.
3. Twee honderd-meter lopers, ROOD en BLAUW,  lopen een wedstrijd tegen elkaar. De grafieken van de afgelegde afstand als functie van de tijd staan in de figuur hiernaast.
     
a. Benader de snelheid van ROOD op t = 4.
     
b. Wanneer liep BLAUW met een snelheid van  12 m/s?
De formule A = 0,1t3 - t2 + 9t  blijkt de grafiek van BLAUW erg goed te beschrijven  (A de afstand, t de tijd).
c. Controleer met deze formule of je antwoord op vraag b. klopt.
       
d. Met welke snelheid finishte BLAUW?
4. Gegeven is de functie  f(x) = 2x + 4/(x - 1)
De raaklijnen aan de grafiek van f in de punten (2, 8) en  (5, 11) snijden elkaar in punt S.
Bereken de coördinaten van S.
5. Een fles witte wijn wordt op een bepaald moment (t = 0) uit de koelkast gehaald. De temperatuur (T) van de fles neemt vanaf dat tijdstip langzaam toe. Er blijkt te gelden:

Daarin is t de tijd in uren en T de temperatuur in °C.
De wijn moet gedronken worden op een temperatuur van 19,5 °C.
a. Bereken de koelkasttemperatuur en de kamertemperatuur.
     
b. Bereken hoe lang van tevoren de fles uit de koelkast moet worden gehaald.
     
c. Als de snelheid waarmee de temperatuur op t = 2 stijgt zo zou blijven, hoe lang duurt het dan voordat de wijn gedronken kan worden?
6. Zodra de eerste nachtvorst komt denkt elke rechtgeaarde Fries uiteraard alleen nog maar aan de Elfstedentocht. Zo ook Ir. Kroes. Hij roept zijn rayonhoofden bij elkaar. De vergadering besluit dat de komende winter de tocht gehouden kan worden bij een ijsdikte van minimaal 17 cm. Om een goed beeld te krijgen van het weer nemen ze weerman Piet Paulusma in de arm. Die gooit alle gegevens van de afgelopen jaren in een enorme computer, en komt tot de conclusie dat er de komende winter voor de dikte van het ijs zal gelden:

Daarin is  D de ijsdikte in cm, en t de tijd in dagen (met t = 1 op 1 januari).
a. Hoeveel groeit de ijslaag gemiddeld per dag tussen 7 januari en 15 januari?
     
b. Wanneer zou volgens dit model de tocht gehouden kunnen worden?
     
c. Hoe snel groeit de ijslaag op 8 februari?

Echter, concurrent Peter  Timofeeff  komt met een heel ander model. Volgens hem zal voor de dikte van de ijslaag gelden:
D(t) = 0,001t3 - 0,06t2 + 1,2t + 7
Als extra service levert hij de grafiek hiernaast erbij.
d. Bepaal met deze grafiek wanneer de groei van de ijslaag vanaf t = 1 gemiddeld 0,5 cm/dag was. (leg uit).
     
e. "Als het ijs zo snel blijft groeien als vandaag, dan zal het op 9 februari maar liefst 30 cm dik zijn" roept een enthousiaste Fries (maar dan in het Fries). Leg uit wanneer hij dat riep.
     
f. Bereken hoe snel het ijs groeide op t = 35.
   
7. Een jongetje gooit op t = 0 (t in seconden) een bal van een toren omhoog weg.
Voor de hoogte h (in m) geldt:  h(t) =  60 + 20t - 4,9t2
       
  a. Welk getal uit de formule geeft aan dat de bal omhoog gegooid wordt?
   

20

  b. Bereken de gemiddelde snelheid van de bal gedurende de vierde seconde.
     

14,3 m/s

  c. Bereken de snelheid van de bal na 3 seconden
     

9,4 m/s

  d. Met welke snelheid komt de bal op de grond?
     

35,7 m/s

       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)