afgelegde weg


Afgelegde weg.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Het lijkt allemaal zo simpel als wat: Een auto rijdt met 80 km/uur en dat doet hij 2,5 uur lang. Hoeveel kilometer heeft hij dan afgelegd? Nou simpel: afstand = snelheid ´ tijd (natuurkundigen zeggen meestal S = v • t), dus 80 • 2,5 = 200 km.
Het probleem komt natuurlijk als de snelheid niet de hele weg door constant is, maar als de snelheid van de tijd afhangt.

De oplossing is eenvoudig:

Hak de tijd in kleine stukjes dt

Op een heel klein stukje dt is de snelheid bij benadering wel constant, dus is de afgelegde weg gelijk aan dS = v(t) • dt
Wil je nu de totale afgelegde weg weten dan tel je al die kleine stukjes dS bij elkaar op.

Voorbeeld.
Voor de snelheid van een optrekkende auto geldt v(t) = 0,5t² (v in m/sec en t in sec).
Bereken de afstand die de auto aflegt tussen t = 0 en t = 10.

oplossing:

Versnelling

Kijk, al die natuurkundigen doen natuurlijk wel heel geleerd met al die mechanicaformules van ze, maar wiskundig gezien stelt het allemaal eigenlijk niet zoveel voor. 't Is niet meer dan een keertje primitiveren of differentiëren. Wat die Newton rechts allemaal beweert is eigenlijk precies hetzelfde als wat Leibniz links zegt! Sterker nog: dat van Leibniz is veel algemener! Dat kun je ook gebruiken als de versnelling niet constant is.

Kijk maar hoe de formules van Newton vanzelf volgen uit die van Leibniz:

Stel dat een voorwerp beweegt met constante versnelling a.
Als a = v' dan kun je dus v vinden door a te primitiveren: v(t) = at + c
Maar vul voor t nu 0 in, en er staat v(0) = c dus daarmee is de constante gevonden en wordt de formule v(t) = v₀ + at

Maar als v = s' dan kun je s vinden door v te primitiveren
De primitieve van v₀ + at is S(t) = v₀t + ¹/₂at² + c
Vul voor t weer 0 in, dan staat er S(0) = c en daarmee is weer de constante c gevonden,
en staat er S(t) = S₀ + v₀t + ¹/₂at²

OPGAVEN

Voor een fietser geldt v(t) = 20t - 4t² (met v in km/uur en t in uren)

Bereken hoeveel km de fietser na 2 uur heeft afgelegd.

29,3 km.

Bereken de versnelling van de fietser op tijdstip t = 1,5.

8 km/uur²

Stel dat voor de snelheid van een object geldt dat v(t) = Ö(2t) met v(0) = 0
(tijd in seconden, snelheid in m/sec) Hoe lang duurt het dan voordat dat object 2000 meter heeft afgelegd?

165 sec

Een auto krijgt een steeds grotere versnelling. Er geldt a(t) = 0,5t met a(0) = v(0) = s(0) = 0
De afstand wordt gemeten in m en de tijd in seconden.

Bereken de snelheid op t = 10.

25 km/uur

Bereken de afgelegde weg op t = 20

666²/₃ km

Bereken wanneer de auto 10000 m heeft afgelegd.

49,3 uur.

Voor de snelheid van een fietser geldt v(t) = √t + 2t (t in seconden, v in m/s)

Hoeveel legt de fietser af tussen t = 9 en t = 16?

199²/₃m

Hoeveel procent neemt de versnelling af tussen t = 2 en t = 6?

6,3%

Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2002.

Een bal valt van enige hoogte in het water. Vanaf het moment dat de bal het wateroppervlak raakt wordt hij afgeremd. Door zijn snelheid zal hij nog een stuk onder het wateroppervlak komen. Vervolgens zal de bal weer opstijgen naar het wateroppervlak. Zie de figuur hiernaast.
Voor de snelheid v, in meters per seconde, van een bepaalde bal die in het water valt geldt de formule:

v(t) = 2 - 8 • e^-2t

Hierbij is t de tijd in seconden vanaf het moment dat de bal in het water komt; v is positief als de bal omhoog gaat.
Deze formule geldt alleen zolang de bal onder water is.
Ter vereenvoudiging verwaarlozen we de diameter van de bal.

In de onderste figuur hiernaast staat de grafiek van v voor de periode dat de bal onder water is.
De gemiddelde versnelling (in m/s²) van de bal tijdens de eerste t seconden dat hij onder water is, is gelijk aan de helling van het verbindingslijnstuk tussen de punten op de grafiek van v die horen bij de tijdstippen 0 en t. In de figuur is dit lijnstuk voor een waarde van t getekend.

Bereken de gemiddelde versnelling in ^m/_s2 gedurende de eerste 2 seconden. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

De bal bereikt het diepste punt na ongeveer 0,7 seconden. Bereken het exacte tijdstip waarop de bal op het diepste punt is.

Het aantal meters dat de bal zich op een bepaald tijdstip onder water bevindt kun je berekenen door de snelheid te integreren. Bereken de grootste diepte die de bal bereikt. Geef je antwoord in centimeters nauwkeurig.