© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Afgeknotte Kegel en Piramide.
Een afgeknot lichaam is een ruimtelijke figuur waar stukken zijn afgesneden. In deze les  bekijken we twee soorten daarvan: de kegel en de piramide waarvan de top is afgesneden door een vlak evenwijdig aan het grondvlak.
Hiernaast zie je dat. De piramide kan trouwens elk grondvlak hebben, het hoeft niet per se vierkant te zijn zoals hiernaast.

De berekening van de inhouden van zulke afgeknotte piramides en afgeknotte kegels gaan allemaal op dezelfde manier. En die manier gaat in drie stappen:
 
 
1.  Bereken de inhoud van de niet-afgeknotte figuur.
2.  Bereken de inhoud van het deel dat eraf wordt gesneden.
3.  Trek die twee van elkaar af.
 

De moeilijkste stap is nummer 2. ......

Ik zal het voordoen met een piramide (de kegel gaat precies zo). Laten we een piramide nemen met vierkant grondvlak met zijden 5 bij 5 en hoogte 7.
We snijden de top eraf op hoogte 4 vanaf het grondvlak.

De inhoud van de hele piramide was  1/3 • G • h = 1/3 • 25 • 7 = 581/3

Nu het eraf gesneden stuk. Het belangrijkste dat je moet zien is, dat de piramide die er afgesneden is gelijkvormig is met de hele piramide (want alle hoeken zijn gelijk). Dus geldt tussen die beide figuren een verkleiningsfactor k. De afgesneden top heeft hoogte 3 en de oorspronkelijke piramide had hoogte 7.  Dat betekent dat die verkleiningsfactor k gelijk is aan 3/7.
En nou komt het:
 

Als voor de lengtes factor k geldt,
Dan geldt voor de inhouden factor k3

 

In dit geval is de verkleiningsfactor voor de inhouden dus gelijk aan (3/7)3 = 27/343
Dus de inhoud van de afgesneden top is gelijk aan  27/343 • 581/3 4,5918

Dan is de inhoud van de afgeknotte piramide gelijk aan   581/3 - 4,5918 53,74
Als de hoogtes niet gegeven zijn.
Dan wordt het iets lastiger.
Deze keer maar een kegel als voorbeeld. De afgeknotte kegel hiernaast heeft hoogte 6, straal grondvlak 12 en straal bovenvlak 8.
De grote vraag is nu:  Hoe hoog was de oorspronkelijke kegel?
Om die vraag te beantwoorden teken je het vooraanzicht van de oorspronkelijke kegel. Dat ziet er zó uit:
 

Daarin kun je zien dat dat blauwe driehoekje gelijkvormig is met driehoek TMA. Dus zijn de verhoudingen van de zijden gelijk, dus geldt 4/x = 6/(6+x) . Vermenigvuldig met x en met 6 + x en je hebt  4(6 + x) = 6x
Daaruit volgt 24 + 4x = 6x  ⇒ x = 12  dus de hoogte was oorspronkelijk 6 + x = 6 + 12 = 18
Dan was de oorspronkelijke inhoud 1/3 • π • 62 • 12  = 144π


De verkleiningsfactor voor het topje is 12/18 = 2/3 dus de voor de inhoud is dat (2/3)3 = 8/27
Dus de inhoud van de toppiramide is 8/27 • 144π = 422/3π
Dan blijft voor de afgeknotte piramide over  144π - 422/3π
= 1011/3π ≈ 318.
   
Het kan ook zó:
   
Je kunt de hoogte van de oorspronkelijke kegel ook als volgt beredeneren.

• over een hoogte van 6 cm neemt de diameter af van 12 naar 8.
• bij 6 cm hoogteverschil hoort dus 4 cm afname van de diameter
• bij 12 cm afname van de diameter hoort dan 18 cm hoogteverschil
• dus de oorspronkelijke hoogte was 18.

Als de getallen niet zo mooi uitkomen kun je er natuurlijk zo'n verhoudingsschema voor maken:

   
Δ hoogte 6 ??
Δ diameter 4 12
 
   
   
  OPGAVEN
   
1. Bereken de inhoud van de volgende twee afgeknotte figuren.
     
 

 

321/4π en 224

   
2. Hiernaast zie je een afgeknot zeszijdig prisma. Het grondvlak is een regelmatige zeshoek met zijden 6.
Het bovenvlak is een zeshoek met zijden 2.
De loodrechte afstand tussen bovenvlak en ondervlak is 10.

Bereken de inhoud in twee decimalen nauwkeurig.

       

75,06

         
3. Hoeveel liter gaat er in het speelgoedemmertje hiernaast?

       

1,825π

         
4. Hiernaast zie je een originele klok.
Het is een piramide die verdeeld is in 4 stukken. De middelste twee stukken draaien rond en geven zo de uren en minuten aan. Aan de vorm van de piramide kun je dan zien hoe laat het is!! (Of als je een watje bent, dan kijk je naar de schaalverdeling op de middelste twee stukken)

De vier stukken van de piramide hebben hoogtes (van onder naar boven) gelijk aan 4, 3, 2 en 6 cm
Het grondvlak is een vierkant met zijden 12.

Bereken de inhoud van de vier afzonderlijke stukken.

     

436,05
174,72
63,15
46,08

         
5. Hiernaast zie je in het blauw de uitslag van de mantel (dat is het gekromde oppervlak) van een afgeknotte kegel.
Bereken de inhoud van die afgeknotte kegel. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

       

59,3

         
6. Een slimme leerling moet van een groot aantal afgeknotte kegels de inhoud berekenen. Zij ontwikkelt daarom de volgende formule:  I = 1/3πh • (R2 + rR + r2)
Daarbij is h de hoogte van de kegel en zijn R en r de stralen van ondervlak en bovenvlak.
Toon aan dat deze formule juist is!!!
         
7. Het heerlijke toetje hiernaast heeft een grondcirkel met straal 8 cm.
De bovencirkel heeft straal 6 cm.

Bereken de hoogte van het toetje als de inhoud gelijk is aan 850 cm3

 

       

5,48 cm

         
8. Een goudstaaf  heeft als grondvlak een rechthoek van 18 bij 7,2 cm en als bovenvlak een rechthoek van 15 bij 6 cm.
De hoogte van de goudstaaf is 4 cm.
Goud heeft een soortelijk gewicht van 19,3 gram per cm3 .
  a. Toon aan dat deze goudstaaf de vorm van een afgeknotte piramide heeft.
     
  b. Bereken het gewicht van deze goudstaaf.
       

8,43 kg

         
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)