|
|||||||||
| 1. |
|
||||||||
| Linkerfiguur Over hoogteverschil 3 wordt de diameter ook 3 minder. Als de diameter nul moet worden is dat 8 minder, dus zal de oorspronkelijke hoogte ook 8 zijn geweest. Hele kegel: 1/3 • π • 42 • 8 = 422/3π Bovenste deel: 1/3 • π • 2,52 • 5 = 125/12π Afgeknotte kegel: 422/3π - 125/12π = 321/4π |
|||||||||
| Rechterfiguur: Over hoogteverschil 8 wordt de zijde 6 minder. |
|||||||||
|
|||||||||
| ?? = 102/3 Hele piramide: 1/3 • 82 • 102/3 = 2275/9 Bovenste deel: 1/3 • 22 • 22/3 = 35/9 Afgeknotte piramide: 224 |
|||||||||
| 2. | Een regelmatige
zeshoek met zijden 6 bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden
6. Voor de hoogte h daarvan geldt: h2 + 32
= 62 h2 = 27 h = √27 De oppervlakte van zo'n driehoek is dan 1/2 • 6 • √27 = 3√27 De oppervlakte van de zeshoek is dan 18√27 |
|
|||||||
| Over hoogteverschil
10 neemt de zijde 4 af, dus als de zijde 6 moet afnemen hoort dat bij
hoogteverschil 15. De inhoud van de oorspronkelijke piramide was
1/3
• 3√27 • 15 = 15√27 |
|||||||||
| 3. | uit gelijkvormigheid
volgt 10/(25 + h) = 7/h 7(25 + h) = 10h 175 + 7h = 10h 3h = 175 h = 581/3 dus de totale hoogte was 831/3 cm Inhoud hele kegel: 1/3 • π • 102 • 831/3 = 8726,65 Inhoud onderste kegel: 1/3 • π • 72 • 581/3 = 2993,24 Inhoud van de emmer is 8726,65 - 2993,24 = 5733,41 cm3 Dat is 5,7 liter. |
 |
|||||||
| 4. | De hele piramide
heeft inhoud 1/3
• 122 • (4 + 3 + 2 + 6) = 720 cm3 Het bovenste deel heeft hoogte 6 dus verkleiningsfactor 6/15 De inhoud is dan (6/15)3 • 720 = 46,08 De bovenste twee delen hebben samen hoogte 8, dus verkleiningsfactor 8/15 De inhoud is dan (8/15)3 • 720 = 109,23 Dan heeft het tweede deel inhoud 109,23 - 46,08 = 63,15 De bovenste drie delen hebben samen hoogte 11, dus verkleiningsfactor 11/15 De inhoud is dan (11/15)3 • 720 = 283,95 Dan heeft het derde deel inhoud 283,95 - 109,23 = 174,72 Dan heeft het vierde deel inhoud 720 - 283,95 = 436,05 |
||||||||
| 5. |
|
||||||||
| Het bovenvlak heeft
omtrek 1/4
• 2 •
π • 4 = 2π
(rood) De straal is dan 1 Het ondervlak heeft omtrek 1/4 • 2 • π • 10 = 5π (groen) De straal is dan 2,5 Dan is x = 1,5 h2 + 1,52 = 62 geeft h = √33,75 = 5,81 over hoogteverschil 5,81 neemt de straal 1,5 af |
|||||||||
|
|||||||||
| ?? = 9,68 dus
de oorspronkelijke hele kegel had hoogte 9,68 Inhoud hele kegel: 1/3 • π • 2,52 • 9,68 = 63,37 Inhoud bovenste deel: 1/3 • π • 12 • 3,87 = 4,06 Inhoud afgeknotte kegel is 63,37 - 4,06 = 59,3 |
|||||||||
| 6. | R/(h
+ x) = r/x Rx = r(h + x) Rx = rh + rx Rx - rx = rh x(R - r) = rh x = rh/(R - r) Hele kegel: 1/3 • π • R2 • (x + h) onderste deel: 1/3 • π • r2 • x Afgeknotte kegel: 1/3πR2 (x + h) - 1/3πr2x = 1/3π(R2x + R2h - r2x) Vul nu voor x de waarde hierboven in: |
|
|||||||
 |
|||||||||
| Dan zou die laatste
breuk gelijk moeten zijn aan R2 + Rr + r2
En dat klopt, want (R - r)(R2 + Rr + r2 ) = R3 - r3 . Ga dat maar na door de haakjes weg te werken! |
|||||||||
| 7. | Noem de hoogte van
het toetje h De straal is 2 afgenomen over hoogteverschil h Dan had de oorspronkelijke kegel hoogte 4h Inhoud oorspronkelijk kegel: 1/3π • 82 • 4h = 851/3hπ Deel dat eraf is gehaald heeft inhoud 1/3π • 62 • 3h = 36hπ Afgeknotte deel heeft dan inhoud 851/3πh - 36hπ = 491/3hπ = 850 154,99h = 850 h = 5,5 cm |
||||||||
| 8. | a. | 18/7,2
= 2,5 en 15/6 = 2,5 en die
zijn dus gelijk. Dat betekent dat ondervlak en bovenvlak gelijkvormig zijn, dus dat de lengte en breedte evenveel (relatief) zijn afgenomen. De opstaande ribben zullen elkaar daarom in één punt ontmoeten, dus is het een piramide. |
|||||||
| b. | De lengte gaat van 18
naar 15, dus neemt 3 af over een hoogte van 4 cm. De hoogte van de oorspronkelijke piramide zal dan 6 • 4 = 24 cm zijn inhoud hele piramide: 1/3 • 18 • 7,2 • 24 = 1036,8 inhoud bovenste deel 1/3 • 15 • 6 • 20 = 600 De goudstaaf heeft inhoud 1036,8 - 600 = 436,8 cm3 Hij weegt 436,8 • 19,3 = 8430,24 gram en dat is ongeveer 8,4 kg. |
||||||||
|
© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl) |
|||||||||
