Absolute Waarde (deel 2)

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

     
     

absolute waarde (1)

In de vorige les over absolute waarde heb je (hopelijk) geleerd wat het eigenlijk is, en hoe je eenvoudige vergelijkingen kunt oplossen en eenvoudige grafieken kunt tekenen.
De hoofdregel die daar behandeld werd is eigenlijk:
       

       
In deze les zullen we wat "spannender" gevallen bekijken, met steeds in ons achterhoofd deze hoofdregel.
Het gaat dan vooral om de gevallen waarin dat stuk tussen die absolute waarde strepen slechts een deel is van een groter vergelijking of formule.
De algemeen oplossing voor zulke gevallen is:
       

Splitsen die boel!!

   

   
 

 
Splits het stuk wat tussen die strepen staat. Als het positief is, dan kun je de strepen gewoon weglaten. Als het negatief is, dan kun je ze ook weglaten, maar dan moet je het positief maken door er een extra minteken voor te zetten.

Voorbeeld:

       
Het resultaat van dat splitsen is dat je twee "gewone" formules overhoudt zonder die vervelende absolute-waarde-strepen.
Dat werkt ook bij ingewikkelder vergelijkingen, kijk maar:
       
Voorbeeld.

       
Nu zijn twee formules overgebleven  (4 + 2x2 - 4x  en  4 - 2x2 + 4x)  waar geen vervelende absolute waarde meer in voorkomt. Bedenk wel dat de eerste formule alleen geldig is voor x > 2 en de tweede alleen voor x < 2.
De grafiek van   y = 4 + x • │2x - 4│ ziet er bijvoorbeeld uit als hiernaast.

Het zijn twee delen van  parabolen.
de parabool   y = 4 + 2x2 - 4x  voor   x > 2  (de rode parabool)
de parabool   y = 4 - 2x2 + 4x  voor   x < 2  (de blauwe parabool)

En voor vergelijkingen gaat het natuurlijk precies zo!

Stel dat je moet oplossen  
4 + x • │2x - 4│ = 5
Dan geeft dat na het splitsen twee nieuwe vergelijkingen:

1:   4 + 2x2 - 4x = 5    voor   x > 2
2:   4 - 2x2 + 4x = 5    voor   x < 2

       
Die zijn apart eenvoudig op te lossen. Bedenk wel dat je van de eerste vergelijking alleen de oplossingen die groter dan 2 zijn mag nemen, en van de tweede alleen de oplossingen die kleiner dan 2 zijn.

De oplossingen van de eerste vergelijking zijn ongeveer 2,22 en -0,22 en daar blijft alleen  2,22 van over. Vanwege de voorwaarde x > 2 

De oplossingen van de tweede vergelijking zijn ongeveer 0,29 en 1,71 en die zijn beide goed (kleiner dan 2)

De vergelijking heeft dus 3 oplossingen, zoals je hiernaast in de grafiek inderdaad ziet.
Inderdaad twee snijpunten met de blauwe grafiek en eentje met de rode.
       
Hoe zie je waar je moet splitsen?
       
Dat is erg eenvoudig:  de grensgevallen zijn de x-waarden waar "dat wat tussen de absolute-waarde-strepen staat" nul is.
Dat kan soms wel op meerdere plekken zijn.

Voorbeeld.  Los op   x + │x2 - 4│ = 1

Los eerst op  x2 - 4 = 0  (alleen het stuk tussen de absolute-waarde-strepen).
Dat geeft  x
= 2 en x = -2

Voor x < -2 is het stuk tussen de strepen positief.
Voor -2 < x < 2  is het stuk tussen de strepen negatief.
Voor x > 2 is het stuk tussen de strepen  positief.

Daarom splitsen we als volgt:

 
dan hebben we twee vergelijkingen over:
1.   x + x2 - 4 = 1  voor  x > 2  of  x < -2
2.   x - x2 + 4 = 1  voor  -2 < x - 2

De oplossing van de eerste vergelijking is  x = 1,79 of  x = -2,79  en alleen die tweede is goed

De tweede vergelijking  heeft oplossingen -1,30 en 2,30  en alleen die eerste is goed.

Dus heeft deze vergelijking twee oplossingen:  x = -2,79  of  x = -1,30.

Hiernaast zie je de grafiek met die oplossingen.
       
Drie (of zelfs meer) functievoorschtiften...  
       
Neem bijvoorbeeld de functie  f(x) = x - 2+ x • │2x - 8│
Je moet splitsen waar die stukken tussen de absolute-waarde-strepen nul zijn. Dat is bij x = 2 en bij x = 4.
Daarom krijg je drie "gebieden":

• als x < 2 dan zijn beide stukken tussen die strepen negatief, dus moet er, om de strepen weg te halen, een extra min voor worden gezet.
Dat geeft  f(x) = -(x - 2) + x • -(2x - 8) = -2x2 + 7x + 2
• als 2 < x < 4 dan is het eerste stuk positief, en het tweede negatief, dus alleen voor het tweede moet een minteken komen.
Dat geeft  f(x) = (x - 2) + x • -(2x - 8) =  -2x2 + 9x - 2
• als x > 4 is alles positief en kunnen alle strepen weg.
Dat geeft  f(x) = (x - 2) + x(2x - 8) = 2x2 - 7x - 2
       
       
  OPGAVEN
       
1. Los op (rond indien nodig af op 2 decimalen):
       
  a. x • │6 - x │ = 5

1 en 5 en 6,74

  b. 2x + x • │1 - x│ = 0

x = 0

  c. x - 1│ = 2 • │5 - x

9  en  11/3

       
2. Een leerling beweert:  x - a│ • │x - b│ = │(x - a)(x - b)│
Leg uit of dat klopt of niet.
       
3. Splits de volgende functievoorschriften in voorschriften zonder absolute-waarde-strepen.
       
  a. f (x) =  2│4 - 2x│ - 3│x + 4│  
  b. g(x) =   2x •│x2 - 6x + 8│  
  c. h(x) =  x - │2 - x││  
       
4. De vergelijking  | | x - 2 | - 3 | = a  heeft precies drie verschillende oplossingen.

Wat is a ?
     

 3

       
5. Schets de grafiek van   f(x) =  | -8 + | x |  |
       
6. examenvraagstuk 1981.
       
  De functie f  van R naar R is gegeven door:
 

       
  a. Los op:  f(x) < 1/2x
       
  b. Onderzoek  f en teken de grafiek van f.
       
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1991.

Van R naar R is gegeven de functie:

 

       
  Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is K de grafiek van f.
Een lijn  y = a  met  a 〈 0,2 ] snijdt K in de punten A en B.
Bewijs dat AB = 4a.
       
8. examenvraagstuk VWO,  1971

De functie f wordt gedefinieerd door:  
 

f(x) = |2x - 4|/(x - 1)

       
  a. Teken in één figuur de grafieken van f en g1
       
  b. Voor welke  p ∈ R  geldt:  de grafiek van gp heeft geen punt gemeen met die van f ?
       
  c. Voor welke  p ∈ R  geldt:  de grafiek van gp heeft één punt gemeen met die van f ?
       
  d. Voor welke  p ∈ R  geldt:  de grafiek van gp heeft twee punten gemeen met die van f ?
       
  e. Voor welke  p ∈ R  geldt:  de grafiek van gp heeft drie punten gemeen met die van f ?
       
  f. Voor welke  p ∈ R  geldt:  de grafiek van gp heeft vier punten gemeen met die van f ?
       
     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)