PETJESPERIKELEN.....

Je moet het feit gebruiken niet meteen iemand roept, dat betekent dat niet meteen iemand weet wat hij op heeft. Dus niemand ziet direct twee blauwe petjes!

Eerst maar even een eenvoudiger variant  (het oorspronkelijke raadsel staat hier)
Stel dat de drie mensen als volgt op een stoel worden gezet:

Dan kunnen 1 en 3 beredeneren wat voor petje ze op hebben!
Immers als ze een blauwe op zouden hebben, dan zou de ander twee blauwen zien en meteen roepen. Dus moeten ze wel een rode ophebben.
En als de situatie z is:
en het duurt lang genoeg, dan weten 1 en 2 het:
Als 1 een blauwe op zou hebben dan zou 2 het weten (immers hij kan dan geen blauwe op hebben omdat dan meteen 3 zou roepen). Dus moet 1 wel een rode op hebben.
Als 2 een blauwe op zou hebben  zouden 1 en 3 beiden roepen (zie vorige voorbeeld) Dus heeft 2 een rode.
3 kan het niet weten: de situatie zou  ROOD - ROOD - BLAUW kunnen zijn!

En als ze dezelfde kant opkijken?

Als het lang genoeg duurt, dan weet nummer 1 het! Degene met de minste informatie nog wel!!!
Immers:  stel dat 1 een blauwe op heeft.
Dan ziet 2 voor zich een blauwe. Maar dan weet 2 dat hij niet zelf ook een blauwe op heeft omdat 3 niets zegt!
Dus zou 2 weten dat hij een rode op heeft.
Omdat 2 niets zegt weet 1 dat hij dus wel een rode op moet hebben! De kleur van de petjes van 2 en 3 doen er niets toe in dit voorbeeld.

Tot slot als ieder alle anderen kan zien:

De "spelleider" stelt twee vragen.
Op de vraag "Wie ziet er een rood petje" steekt uiteraard iedereen zijn hand op.
Dan komt de vraag:  "Wat heb je zelf voor petje op?"
Na een lange stilte weet iedereen dat hij een rood petje op heeft!

Stel dat 1 een blauwe op heeft.
Dan ziet 2 een blauwe, maar 3 zag ook een rode, dus dan weet 2 dat hij een rode op heeft, en zou hij gaan roepen.
Omdat 2 dat niet doet, weet 1 dat hij geen blauwe op heeft.

Dan zijn we nu toe aan het oorspronkelijke raadsel, dat is een variant hier op

DE OPLOSSING

Elk redeneerde als volgt:

Er is in ieder geval niemand die twee blauwe petjes ziet, want dan zou hij direct roepen omdat hij dan zelf uiteraard een rood  petje op heeft.

Stel dat ik een blauw petje op heb........

Dan is de situatie zoals hiernaast:

Maar ja, wat zal  de onderste persoon dan denken? Hij is net zo'n goede denker als ik, dus hij zal ook wel denken "Stel dat ik een blauw petje op heb..." 

 
Met mijn hypothetische blauwe petje erbij zien zijn gedachten er dan uit als hiernaast:
Maar dat kan niet, want dan zou de bovenste persoon immers twee blauwe petjes zien en meteen roepen dat hij zelf een rode op heeft! Uit het feit dat de bovenste niet roept zou de onderste direct  concluderen dat hij geen blauw petje op heeft. Maar dat concludeert hij  niet want het duurt wel erg lang.
Daarom is de enige mogelijkheid dat ik zelf een rood petje op heb.

Laat ik maar eens gaan roepen..... 
2.  Het raadsel van de geheime getallen.
Het volgende raadsel is een hele beroemde uit de ik-denk-dat-jij-denkt-dat  categorie:
Twee jongetjes, Alex en Bert, hebben elk een positief geheel getal in gedachten.
Ze vertellen hun getal allebei aan hun leraar.
De leraar schrijft vervolgens twee getallen op het bord, en hij zegt dat n van beiden de som van de getallen van Alex en Bert is.
Dan vraagt hij Alex: "Weet jij Bert's getal?"
"Nee," zegt Alex.
Dan vraagt hij aan Bert:  "Weet jij misschien Alex's getal al?"
"Nee" zegt Bert
Dan vraagt hij het weer aan Alex:  "weet jij Bert's getal al?"
"Nee," zegt Alex weer
En zo blijft de leraar het om en om aan de jongens vragen.

Bewijs (als Alex en Bert tenminste hele slimme jongetjes zijn) dat op den duur n van de jongens "Ja" zal antwoorden!


Waarom  is dat zo?
Stel bijvoorbeeld dat de leraar de getallen 76 en 88 op het bord schrijft.
Dan komen de jongetjes in stappen steeds meer te weten:

STAP 1:  Alex zegt "Nee".
op dat moment weten beiden dat het getal van Alex minder dan 76 is. Immers anders zou hij weten dat 88 de enige goede som kan zijn.  Dus  0 < A < 76

STAP 2: Bert zegt "Nee"
Bert weet dus al dat het getal van Alex tussen 0 en 76 ligt. Als zijn eigen getal nu 12 of minder zou zijn  dan kan nooit de som 88 bereikt worden. 
Uit het feit dat Bert het nog niet weet kan Alex dus concluderen dat dat Bert's getal meer dan 12 is.
Bovendien kan ook Bert's getal niet meer dan 76 zijn (om dezelfde reden als in stap 1 voor Alex) Dus is nu bekend   0 < A < 76 en  12 < B < 76

STAP 3:  Alex zegt weer "Nee"
Alex weet al dat Bert's getal tussen 12 en 76 ligt. Als zijn eigen getal nu 64 of meer zou zijn, dan zou de som altijd mindstens dan 64 + 13 = 77 worden, en zou hij weten dat 88 de goede som is.
Dat weet hij kennelijk niet, dus zijn getal is minder dan 64.
Dus nu is bekend:  0 < A < 64 en  12 < B < 76

STAP 4:  Bert zegt weer "Nee"
Bert weet al dat Alex's getal tussen 0 en 64 ligt. Als zijn eigen getal 24 of minder zou zijn weet hij dat de 88 nooit gehaald kan worden (63 + 24 = 87), dus dat de 76 de goede som is. Maar uit het feit dat hij weer "Nee" zegt kun je dus concluderen dat zijn getal meer dan 24 moet zijn.
Dus is nu bekend  0 < A < 64  en  24 < B < 76 


Het patroon is wel duidelijk, denk ik: de bovengrens voor het getal van Alex schuift elke keer 12 omlaag en de ondergrens voor het getal van Bert schuift elke keer 12 omhoog.  Op een gegeven moment zal de ondergrens voor A onder nul komen of de bovengrens voor B boven 76. Dit kan dus niet oneindig door blijven gaan, en op een gegeven moment zal n van beide jongens het getal van de ander weten. 

3.  DAN WEET IK HET OOK!
Je hebt twee getallen x en y onder de 100 die niet gelijk zijn.
De som van die getallen geef je aan meneer S, het product vertel je aan meneer P. Dan ontwikkelt zich tussen S en P de volgende ietwat vreemde discussie:
P:   "Ik weet de twee getallen niet"
S: "Nee, dat wist ik al"
P: "Nu weet ik ze wel"
S: "Ik ook"

Neem aan dat P en S goed en logisch nadenkende mensen zijn. Wat waren dan de getallen? 

4. Een ladder van drie
Voor ons liggen drie kaarten met de rugzijde naar boven.
Op elk van deze kaarten staat een nummer dat we nu dus niet kunnen zien.
We weten:
1.  De drie nummers zijn verschillend
2.  De drie nummers zijn samen gelijk aan 13.
3.  De drie nummers liggen in opklimmende volgorde van links naar rechts op tafel.
Drie meisjes, die goede wiskundigen zijn en de bovenstaande drie gegevens kennen, mogen elk van n kaart de beeldzijde bekijken. 
Meisje A kijkt naar de linkerkaart en zegt dat ze nog niet weet wat de drie getallen zijn.
Meisje B kijkt daarna naar de rechterkaart maar weet het ook nog niet.
Meisje C kijkt tot slot naar de middelste kaart en weet het k nog niet!

Welk getal staat op de middelste kaart?

5. Som en aantal delers bekend.
Ik heb een getal van 2 cijfers in gedachten.
De som van die twee cijfers vertel ik aan leerling A.
Het aantal delers van die cijfers samen vertel ik aan leerling B.
Dan komen A en B elkaar tegen:
A:  ik weet niet wat het getal is.
B:  Nee, ik ook niet, maar ik weet wl of het even of oneven is!
A:  Oh ja? Dan weet ik het getal nu wel!
B:  Oh ja? Dan weet ik het ook!

Wat was mijn getal?

De drie monniken.
   
Drie monniken liggen samen in hun cel te slapen als iemand 's nachts ongemerkt op hun hoofd een blauwe streep zet (ze zijn kaal dus dat gaat makkelijk)
De orde waar de monniken toe behoren heeft twee strenge gedragsregels;
1.  Als je iets vreemds aan een ander ziet mag je dat nooit vertellen.
2.  Als er met jezelf iets vreemds aan de hand is mag je dat direct aan iedereen vertellen.

De monniken worden wakker en zien natuurlijm, de blauwe strepen bij de anderen maar zeggen uiteraard niets.

Dan komt op een gegeven moment de abt binnen, en die zegt: "minstens n van jullie heeft een blauwe streep op zijn hoofd"  Dat is niet echt schokkende informatie voor de monniken, want dat wisten ze al, en elke monnik wist ook al wel dat de andere twee dat wisten. Niks aan de hand zou je zeggen....

Het is een hele poos stil in de cel....
Dan roepen ze alle drie tegelijk:  "Ik heb een blauwe streep op mijn hoofd".

Hoe wisten ze dat????