De vergelijking van een vlak.

ę h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Om langzaamaan een idee te krijgen van hoe de vergelijking van een vlak er uit ziet, beginnen we eerst maar eens met een paar eenvoudige vergelijkingen. Nou ja ... eenvoudig.... je kunt beter zeggen kinderlijk eenvoudig.

EÚn van de allersimpelste vergelijkingen die mij zo te binnen schiet is de vergelijking x = 3
De vraag is dus:  "Waar liggen de punten waarvoor geldt x = 3, en hoe ziet de verzameling van al die punten er uit?"
Je kunt om dat te ontdekken er natuurlijk gewoon een aantal gaan tekenen.
Bijvoorbeeld  (3, 4, 1) en (3, 0, 0) en (3, -2, 0) en (3, 0, 3) en (3, 2, -2) en  .....
Die vijf punten zijn hieronder links getekend, met wat hulplijntjes om de plaats duidelijker aan te geven.
       

       
Ze liggen allemaal in een plat vlak dat door punt P(3, 0, 0) gaat en dat evenwijdig aan het Oyz vlak is (dat is het vlak waar de y-as en de z-as in liggen). Dat vlak is hier rechtsboven getekend. Het is eigenlijk het Oyz vlak, maar dan 3 "naar voren geschoven".
Op precies dezelfde manier kun je bijvoorbeeld de vlakken y = 2  en z = -1 tekenen. Die zie je in de volgende figuur.
       

       
EÚn rode draad (die later ook nog handig zal blijken te zijn) kun je alvast uit deze figuren leren:
       

Als x, y ofniet in de vergelijking staat,
is het vlak evenwijdig aan die as.

       
Dat kun je natuurlijk ook zˇ beredeneren:
Stel dat de y niet in de vergelijking voorkomt. Als je dan een punt P van het vlak hebt dan kloppen de co÷rdinaten van P met de vergelijking. Maar als je nu in de y-richting beweegt, dan verandert alleen de y-co÷rdinaat van P, maar die doet er nou  juist voor de vergelijking niet toe. Ofwel:  als je vanaf P in de y-richting gaat bewegen, dan voldoen de co÷rdinaten van alle nieuwe punten die je krijgt ook aan de vergelijking, dus liggen die nieuwe punten ook allemaal in het vlak.
Dan is dat vlak evenwijdig aan de y-richting.
       
Moeilijkere Vergelijkingen.
       
Neem de vergelijking   2x + 3y + 2z = 12.

Die gaan we onderzoeken.
Laten we eerst het 2D-geval bekijken, als z = 0
Dan staat er 2x + 3y = 12  en dat is een rechte lijn in het Oxy-vlak.
(gaat bijvoorbeeld door (6,0) en (0,4))
Je ziet hem hiernaast.

 

Neem nu het geval z = 1.
Dan staat er  2x + 3y = 10, en dat is ook een rechte lijn, nu alleen in het vlak z = 1. Daarin gaat hij door bijvoorbeeld (5, 0) en (0, 31/3)

Je ziet hem hiernaast erbij getekend.
Hij is evenwijdig aan die andere rode lijn, want alleen het getal 10 is in 12 veranderd, en dat verandert de helling niet.

Nou, en zo kun je alsmaar doorgaan.
 

Hiernaast zie je de doorsnedes met de vlakken z = 0 tot en met z = 6
Als die rode lijntjes vormen samen ons gezochte vlak Ze lopen natuurlijk aan de zijkanten nog door; alleen het stukje met alle co÷rdinaten positief is getekend)

Dat lijkt inderdaad een plat vlak te zijn.
De echte achterdochtigen onder ons kunnen daar nog aan twijfelen. Die zullen zeggen "OK, al die rode lijntjes lopen evenwijdig, maar dat wil nog niet zeggen dat ze in een plat vlak liggen, die zwarte randen zijn misschien wel krom..."

Maar als je je bedenkt dat we dit hele verhaal ook kunnen houden voor doorsnedes met vlakken  y = 0,  y = 1, ... en  x = 0, x = 1, .... en dat we dan elke keer evenwijdige lijnen vinden, dan zul je niet anders dan kunnen toegeven dat dit toch echt een plat vlak voorstelt.
       

ax + by + cz = d  is de vergelijking van een plat vlak.

       
Om zo'n vlak te tekenen is het vaak handig om de snijpunten met de co÷rdinaatassen te tekenen. En bedenk je verder nog, dat als er een x, y of z mist in de vergelijking, dat dan het vlak evenwijdig is aan die co÷rdinaat-as.
       
Voorbeeld 1.
Teken het vlak met vergelijking  -x + 3y + 2z = 6.
Bereken de snijpunten met de co÷rdinaatassen:
x = 0 en y = 0 geeft z = 3 en het punt (0,0,3)
x = 0 en z = 0  geeft  y = 2  en het punt  (0, 2, 0)
y
= 0 en z = 0 geeft x = 6 en het punt  (-6, 0, 0)
Dat geeft het vlak hiernaast. 

Voorbeeld 2.  
Teken het vlak met vergelijking  2x + 4y = 12
Bereken de snijpunten met de co÷rdinaatassen:
x = 0 en z = 0 geeft  y = 3  en het punt  (0, 3, 0)
y = 0 en z = 0 geeft  x = 6 en het punt  (6, 0, 0
x = 0 en y = 0 geeft....NIETS.
z staat niet in de vergelijking dus het vlak is evenwijdig aan de z-as.
Dat geeft het vlak hiernaast.

       
TRAP ER NIET IN!

De vergelijking y = ax + b is dus in 3D geen vergelijking meer van een lijn!.
Het is een plat vlak evenwijdig aan de z = as.
Een lijn is eenvoudigweg in 3D niet door ÚÚn vergelijking weer te geven. Als je een lijn toch wilt weergeven dan kun je dat doen door TWEE vergelijkingen (de lijn is dan eigenlijk de snijlijn van de twee vlakken van die vergelijkingen).
Het kan op een veel mooiere manier met vectoren, maar ja, dat is weer een heel ander en heel uitgebreid onderwerp (dat kun je vinden in de W-lessen).
       
         
1. Teken de volgende vlakken:
         
  a. 4x - 2y + z = 16
         
  b. 2x + y - 5z = 10    
         
  c. 2y + 4z = 12    
         
  d. 3x = 18 - 2z    
         
2. De vergelijking x2 + y2 = 4 is in 2D een vergelijking van een cirkel met middelpunt de oorsprong en straal 2.
         
  a. Hoe ziet de grafiek van deze vergelijking in 3D eruit?
       

cilinder

  b. Hoe ziet de grafiek (3D) van  y2 + z2 = 4 eruit?
         
3. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1985.
         
  Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy zijn gegeven de punten A(12,0,0), C(0,12,0) en T(12,12,0).
Deze punten zijn hoekpunten van een regelmatige vierzijdige piramide T.ABCD met top T.
Het punt E is het midden van ribbe BC.
       
  a. Teken in de ruimtefiguur hiernaast de doorsnede van de piramide en het vlak met vergelijking  y = 8.
Geef een korte toelichting bij de tekening.
Bereken de oppervlakte van deze doorsnede.
       
  b. De lijn AC snijdt het vlak met vergelijking y = 8 in het punt S. Bereken de co÷rdinaten van S.
         
4. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1987.

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxyz is de piramide T.OABC gegeven door  O(0,0,0), A(6,0,0), B(6,6,0), C(0,6,0) en T(0,0,8)

         
  a. Punt P is het midden van lijnstuk BT.
De lijn PC snijdt het vlak OAT in het punt S.
Teken in een ruimtefiguur de piramide T.OABC en construeer het punt S.
Bereken de co÷rdinaten van S.
         
  b. De loodrechte projectie op het Oxy-vlak van de doorsnede van de piramide met het vlak met vergelijking 
x
+ 2/3y + 2z = 8  is een vijfhoek V.
Bereken de oppervlakte van V.
         
Van vlak naar vergelijking.
       

Het kan natuurlijk ook dat er een vlak is getekend waarvan je graag de vergelijking zou willen hebben.
In principe kun je die altijd vinden als je maar 3 punten (die niet op ÚÚn lijn liggen) van dat vlak kunt vinden.
Waarom?
Nou, de algemene vergelijking van een vlak was ax + by + cz = d  maar als je alles door d deelt, dan krijg je een algemene vergelijking px + qy + rz = 1   (p, q en r zijn nieuwe constanten).
Vul de drie gevonden punten in, en je krijgt een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden. Dat is op te lossen....

En als het vlak evenwijdig is aan een co÷rdinaat-as, dan heb je zelfs minder punten nodig omdat de  x, y of z waaraan het vlak evenwijdig is, ontbreekt in de vergelijking.

de assenvergelijking.

       
Als je de snijpunten van een vlak met de co÷rdinaatassen hebt, dan kun je heel snel daar een vergelijking van opstellen.
Die ziet er zˇ uit:

       
En daarin zijn de snijpunten met de co÷rdinaatassen achtereenvolgens x = a en y = b en z = c
Dat dat inderdaad zo is kun je heel snel controleren. Vul voor bijvoorbeeld het snijpunt met de x-as maar y = 0 en z = 0 in de vergelijking in. Dat geeft  x/a = 1  dus inderdaad x = a.

Voorbeeld
3.
Geef een vergelijking van het vlak door  (3, 0, 0) en (0, 5, 0) en (0, 0 ,-2)
De assenvergelijking geeft in ÚÚn keer  x/3 + y/5 + z/-2 = 1
Vermenigvuldig alles met 30 en je krijgt de wat mooiere uitdrukking:  10x + 6y - 15z = 30
       
         
5. Geef een vergelijking van de volgende vlakken:
         
 

         
 

2x+ 2y + 3z = 6

5x+ 4y - 10z = 20

x+ 2z = 8

         
6. Geef een vergelijking van de volgende vlakken
         
  a. Door  (2, 2, 2)  en (1, 2, 4)  en  (-1, 4, 2)
       

2x + 3y + z = 12

  b. Door   (2, 4, 7)  en  (1, -10, 3)  en  (-4, 8, 5)
       

-2x - y + 4z = 20

         
7. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1985.

Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxyz  zjin gegeven de punten A(8,0,0), B(8,8,0), C(0,8,0) en D(0,0,8).
Deze punten zijn de hoekpunten van een vierzijdige piramide D.ABCO.
Punt P is het midden van ribbe BD en punt Q ligt op ribbe AD zo dat AQ : QD = 1 : 3.
V is het vlak door P, evenwijdig aan de lijn BQ en evenwijdig aan de lijn DO.

Teken in de figuur hieronder de doorsnede van V met de piramide.
Geef daarbij een korte toelichting.
Stel een vergelijking op van V.

         
 

         

ę h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)