© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 4x - 2y + z = 16
door  (4, 0, 0) en (0, -8, 0) en (0,0,16)

       
  b. 2x + y - 5z = 10
door   (5,0 0 )  en  (0, 10, 0)  en   (0, 0, -2)


 
       
  c. 2y + 4z = 12
evenwijdig aan de x-as en door  (0,6,0) en (0,0,3)
       
  d. 3x = 18 - 2z
evenwijdig aan de y-as en door  (6, 0, 0) en  (0,0,9)
       
2. a. Een cilinder met als as de z-as, en die cirkel als doorsnede met het Oxy-vlak
       
  b. Een cilinder met als as de x-as.
Een cirkel met straal 2 en middelpunt de oorsprong als doorsnede met het Oyz-vlak.
       
3. a. zie hiernaast.
PR is evenwijdig aan de x-as en snijdt de y-as in (0,8,0)
QPU evenwijdig aan de z-as
QS en UV evenwijdig aan de x-as
     
  b. PR ligt in driehoek ATC.
omdat 8 gelijk is aan 2/3 deel van 12 is PR 2/3 deel van TC.
Dus PR = 8
QU is de helft van BD.
BD = AC = 12√2, dus  QU = 6√2
QS is de helft van TC, dus QS = 6
Oppervlakte rechthoek SVQU is  6√2 • 6 = 36√2
Oppervlakte driehoek SVR is 1/2 • 6√2 • 2 = 6√2
Dan is de oppervlakte van de doorsnede gelijk aan 42√2.
       
4. a. S is het snijpunt van PC met een l;ijn door T evenwijdig aan de x-as (TS is de snijlijn van de vlakken AOT en TBC)

     
     
       
  b. Vlak V gaat door (8,0,0) en (0,12,0) en (0,0,4)
De doorsnede met de piramide is GHDEF hiernaast.
De projectie daarvan op het grondvlak is OJHDI

In het Oyz vlak heeft TC vergelijking z = 8 - 4/3y
en FE heeft vergelijking z = 4 - 1/3y
Het snijpunt is  E = (4, 22/3)
Dus CI = 2

In het Oxz-vlak heeft TG vergelijking z = 8 - 4/3x
en FG heeft vergelijking z = 4 - 1/2x
Het snijpunt is G = (4.8, 1.6)
Dus AJ = 1,2
       
    In het Oxy-vlak heeft HD vergelijking y = 12 - 4/3x
Dus H = (6, 4) en D = (41/2, 6)
    Dan is AH = 4 en CD = 41/2.
zie de vijfhoek hiernaast.

oppervlakte AHJ is  1/2 • 1,2 • 4 = 2,4
oppervlakte DHB is  1/2 • 2 • 1,2 = 1,5
oppervlakte DIC is  1/2 • 2 • 4,5 = 4,5

oppervlakte V is 36 - 2,4 - 1,5 - 4,5 = 27,6		  
       
5.

       
  a. x/3 + y/3 + z/2 = 1  ofwel 2x + 2y + 3z = 6
       
  b. x/-4 + y/5 + z/-2 = 1  ofwel  -5x + 4y - 10z = 20
       
  c. x/8 + z/4 = 1  ofwel  x + 2z = 8
       
6. a. Door  (2, 2, 2)  en (1, 2, 4)  en  (-1, 4, 2).
Stel de vergelijking  ax + by + cz = 1 en vul de punten in:
2a + 2b + 2c = 1    .....(1)
a + 2b + 4c = 1     ......(2)
-a + 4b + 2c = 1   ......(3)

(2) en (3) optellen geeft   6b + 6c = 2   ....(4)
tweemaal (3) bij (1) optellen geeft  10b + 6c = 3

trek deze laatste twee van elkaar af:   4b = 1 dus  b = 1/4
invullen in (4):   11/2 + 6c = 2  dus  c = 1/12
invullen in (3):   -a + 1 + 1/6 = 1  dus  a = 1/6
Dat geeft de vergelijking  1/6x + 1/4y + 1/12z = 1  ofwel  2x + 3y + z = 12
       
  b. Door  (2, 4, 7)  en  (1, -10, 3)  en  (-4, 8, 5)
Stel de vergelijking  ax + by + cz = 1 en vul de punten in:
2a + 4b + 7c = 1   ...(1)
a - 10b + 3c = 1    ....(2)
-4a + 8b + 5c = 1   .....(3)

tweemaal (1) bij 3 optellen geeft   16b + 19c = 3
tweemaal (2) van (1) aftrekken geeft  24b + c = -1    ....(4)

driemaal de eerste min tweemaal de tweede geeft 55c = 11  dus  c = 1/5
invullen in (4) geeft  b = -1/20
invullen in (2) geeft  a = -1/10
Dat geeft de vergelijking  -1/10x - 1/20v + 1/5z = 1  ofwel  -2x - y + 4z = 20
       
7. Teken PR evenwijdig aan BQ.
Teken de projectie S van R op OA
Teken de projectie T van P op OB
U is het snijpunt van ST met BC.

V is vlak RSUP.
Het vlak is evenwijdig aan de z-as dus de vergelijking zal er uitzien als  ax + by = 1

P = (4, 4, 4)
B = (8, 8, 0) en Q = (6, 0, 2)
De vector BQ is dan (-2, -8, 2)
De vector PR is daar de helft van  (de driehoeken DRP en DQB zijn gelijkvormig), dus (-1, -4, 1)
Dan is  R = (3, 0, 3)
       
  Vul de punten R en P in de vergelijking in:  3a = 1  en  4a + 4b = 1
Dat geeft  a = 1/3 en b = -1/12
De vergelijking wordt  1/3x - 1/12y = 1  ofwel   4x - y = 12 
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)