Recursievergelijkingen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
Recursievergelijkingen worden natuurlijk pas interessant als een getal uit de rij niet alleen afhangt van het vorige getal, maar van de TWEE vorige getallen!!! In zo'n geval heet dat een vergelijking van de TWEEDE ORDE. Het eerste wat je waarschijnlijk zal opvallen is, dat er dan ook TWEE beginwaarden nodig zijn. Immers met alleen  u0 kun je niets beginnen. Pas als je u0 en u1 hebt kun je u2, u3, enzovoorts gaan berekenen.

Laten we een eenvoudig geval bekijken: als het verband tussen de un en de twee vorigen lineair is. Dat heet ook wel een en Lineaire Differentievergelijking van de Tweede Orde:
 
un = a • un - 1 + b • un - 2
 

Met a en b twee constanten.
 
Omdat er twee beginwaarden nodig zijn, moet je even uitkijken hoe je zo'n rij in je GR invoert. Neem bijv. de rij  un = 2un -1 + 3un - 2  met u0 = 2 en  u1 = 1
Hiernaast zie je hoe je die moet invoeren.
Let vooral op  u(nMin):  daar voer je tussen accolades beide beginwaarden in, met een komma ertussen, eerst u1, dan u0.
Bij TABLE vind je dan de rij un:   2 - 1 - 8 - 19 - 62 - 181 - 548 - .....
Is er een directe formule te vinden?
Dat is niet zo eenvoudig.....
We gaan eerst zomaar eens een poging doen, alhoewel we weten dat die fout is, maar al doende komen we misschien op ideeλn/ontdekkingen. Onze eerste poging is een meetkundige rij:  Stel dat  un = B • gn
(We weten natuurlijk al wel dat deze formule niet kan kloppen, om twee redenen. De eerste is dat de rij hierboven geen meetkundige rij is. De tweede is, dat er voor zo'n meetkundige rij maar ιιn beginwaarde nodig is, terwijl we al zagen dat voor onze vergelijking twee beginwaarden nodig zijn).
Maar toch, stel dat  un = B • gn  een directe formule is....
Als we die dan invullen in de recursievergelijking dan moet het kloppen wat er staat:
 un = 2un -1 + 3un - 2 
⇒  B • gn = 2 • B • gn-1 +  3 • B • gn-2
B valt weg! Die doet er kennelijk niet toe voor het voldoen aan de vergelijking!!
⇒  gn = 2 • gn-1 +  3 • gn-2   (deel nu alles door gn)
⇒  1 = 2 • g-1 + 3 • g-2    (vermenigvuldig nu alles met g2)
⇒  g2 = 2g + 3
⇒  g2 - 2g - 3 = 0   ......deze vergelijking heet de karakteristieke vergelijking.
⇒  g = 3  of   g = -1

Ondanks dat we wisten dat we niet meteen de goede oplossing zouden vinden  vallen toch twee dingen op: 

 
1.  De waarde van B doet er niet toe.
  Dat is mooi; dan kunnen we die misschien straks handig kiezen om te voldoen aan de beginvoorwaarden.
2.  Er zijn twee mogelijke waarden voor g.
 
Om de laatste stap in de oplossing te maken gebruiken we de volgende stelling:
 
STELLING.

Neem de vergelijking  un = a • un - 1 + b • un - 2
Als  vn en  wn  allebei oplossingen zijn van deze vergelijking,
dan is de combinatie  vn + wn σσk een oplossing.
 
Kijk maar, een bewijsje van 3 regels:
vn + wn
= (a • vn-1 + b • vn-2) + (a • wn-1 + b • wn-2)
= a • vn-1 + a • wn -1  +  b • vn-2 + b • wn -2
= a • (vn-1 + wn-1) + b • (vn-2 + wn-2)     dus is vn + wn een oplossing.

Maar dat betekent dat vn + vn = 2vn  σσk een oplossing is.
En dan 2vn + vn = 3vn  σσk , en op dezelfde manier 4vn en 5vn en 8wn en 12wn en 4vn + 5wn  en ga zo maar door.
Elke lineaire combinatie van vn en wn is een oplossing. 

Nou, in de differentievergelijking hierboven hadden we al twee oplossingen gevonden,
namelijk  un = B • 3n  en ook  un = C • (-1)n
Dus is volgens de stelling ook  un = B • 3n  +  C • (-1)n  een oplossing.
En omdat we nu zowel B als C willekeurig kunnen kiezen kunnen we zorgen dat er aan beide beginvoorwaarden wordt voldaan!
n = 0  geeft dan   u0 = B + C = 2
n = 1  geeft dan   u1 = 3B - C = 1
Dit stelsel van twee vergelijkingen is makkelijk op te lossen en geeft  B =  3/4 en  C = 11/4
De volledige oplossing is dus  un =  3/4 • 3n  + 11/4 • (-1)n

Als je het niet vertrouwt, of als je wilt zien hoe mooi die wiskunde toch wel niet is, dan voer je deze formule bij Y=  in je GR in, en je ziet dat inderdaad de tabel met u-waarden die we al eerder vonden tevoorschijn komt.....

Samengevat:
 
•  vul un = gn in in de recursievergelijking.
•  dat geeft een karakteristieke vergelijking van de vorm g2 + bg + c = 0.
•  dat geeft twee mogelijke waarden g1 en g2 .
•  de algemene oplossing is  un = A • g1n + B • g2n .
•  A en B kun je bepalen door de twee beginwaarden in te vullen.
 
1. Geef een directe formule voor de volgende differentievergelijkingen:
           
  a. un =  6un-1 - 8un-2    met    u0 = 2 en  u1 = 3

un = 21/2 • 2n  - 1/2 • 4n
  b. un = 21/2un - 1 - un - 2   met   u0 = 1 en  u1 = 20

un = -12 • (1/2)n + 13 • 2n
  c. un = -9un-1 - 18un-2  met  u0 = -4 en  u1 = 3

un = -7 • (-3)n + 3 • (-6)n

  d. un = -4un -1 + 5un-2  met   u0 = 1 en  u1 = 0

un = 5/6  + 1/6 • (-5)n
           
2. De beroemdste rij van deze soort is zonder twijfel de rij van Fibonacci.
Die ziet er zσ uit:   1 - 1 - 2 - 3 - 5 - 8 - 13 - 21 - ...
           
  a. Geef een recursievergelijking van deze rij.
     
  b. Geef een directe vergelijking van deze rij.
           
3. Voor de alternerende rij  un =  2 - 4 - 2 - 4 - 2 - 4 - 2 - ..... kun je makkelijk u2009 berekenen....
als de eerste u0 is, dan komt daar 4 uit!
Je kunt het ook op een moeilijke manier doen.
Voor deze rij geldt de differentievergelijking  un = un-2  met  u0 = 2 en u1 = 4.
Maak met deze differentievergelijking een directe formule en laat zien dat die voor n = 2009 inderdaad  4 oplevert.
           
4. Beschouw de differentievergelijking  un = aun-1 + bun-2
Als a + b = 1  dan is  ιιn van de g-waarden ook gelijk aan 1.
           
  a. Toon aan dat dat inderdaad zo is.  
           
  In dat geval is de algemene oplossing te schrijven als  un = A + B • gn
           
  b. Toon aan dat dat inderdaad zo is.  
     
  c. Geef een differentievergelijking waarvan  un = 1 + 3 • 2n  een directe vergelijking is.
         
un = 3un-1 - 2un
met  u0 = 4 en u1 = 7
           
Wat kan er misgaan?
Helaas kan er van alles misgaan.......
Vooral in de derde stap van de samenvatting hierboven:   "...dat geeft twee mogelijke waarden g1 en g2 ."
Puh! Alsof elke tweedegraads vergelijking altijd maar twee reλle oplossingen heeft! Helemaal niet! Als de discriminant negatief is, dan zijn er geen oplossingen.
Er is dan tσch nog wel een truc te verzinnen om oplossingen te vinden, maar daarvoor moet je weten wat complexe getallen zijn en hoe je daarmee kunt rekenen.

Dat staat in deze les.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)