h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. un =  6un-1 - 8un-2    met    u0 = 2 en  u1 = 3
De karakteristieke vergelijking  wordt  g2 - 6g  + 8 = 0
(g - 4)(g - 2) = 0
g
= 2    g = 4
Algemene oplossing:   un = A 2n + B 4n
u
0 = 2  geeft  2 =  A + B  dus  B = 2 - A
u1 = 3  geeft  3 = 2A + 4B
3 = 2A + 4(2  - A)
3 = 2A + 8 - 4A
-5 = -2A
A = 21/2   en dan is  B = 2 - 21/2 = -1/2
Dat geeft  un  = 21/2 2n - 1/2 4n 
       
  b. un = 21/2un - 1 - un - 2   met   u0 = 1 en  u1 = 20
De karakteristieke vergelijking wordt :   g2 - 21/2g +1 = 0
(g - 2)(g - 1/2) = 0
g = 2  ∨  g = 1/2
Algemene oplossing:  un = A 2n + B (1/2)n 
u
0 = 1  geeft  1 = A + B   ofwel  B = 1 - A
u1 = 20 geeft  20 = 2A + 1/2B
20 = 2A + 1/2(1 - A)
20 = 2A + 1/2 - 1/2A
191/2 = 11/2A
A = 13  en dan is B = 1 - 13 = -12
Dat geeft  un = 13 2n - 12 (1/2)n 
       
  c. un = -9un-1 - 18un-2  met  u0 = -4 en  u1 = 3
De karakteristieke vergelijking wordt   g2 + 9g + 18 = 0
(g + 3)(g + 6) = 0
g = -3  ∨  g = -6
Algemene oplossing:  un = A (-3)n + B (-6)n  
u0 =  -4  geeft  A + B = -4  dus  B = -4 - A
u1 = 3 geeft  3 = -3A - 6B
3 = -3A - 6(-4 - A)
3 = -3A + 24 + 6A
-21 = 3A
A = -7  en dan is  B = -4 - - 7 = 3
Dat geeft  un = -7 (3)n  + 3 (-6)n
       
  d. un = -4un -1 + 5un-2  met   u0 = 1 en  u1 = 0
De karakteristieke vergelijking wordt:  g2 + 4g - 5 = 0
(g - 1)(g + 5) = 0
g = 1 ∨  g = -5
Algemene oplossing:  un = A 1n + B (-5)n
u0 = 1  geeft   1 = A + B  dus  B = 1 - A
u1 = 0  geeft   0 = A - 5B
0 = A - 5(1 - A)
0 = A - 5 + 5A
5 = 6A
A = 5/6  en dan is  B = 1 - 5/6 = 1/6
Dat geeft  un 5/6 1n + 1/6 (-5)n  
       
2. a. un = un - 1 + un - 2  met  u0 = u1 = 1  
       
  b De karakteristieke vergelijking wordt:  g2 - g - 1 = 0
ABC-formule:   g = (1 (1 + 4))/2 = 1/2  1/25
Algemene oplossing:   un = A (1/2 + 1/25)n    +   B (1/2 - 1/25)n 
u0 = 1  geeft  A + B = 1  dus  B = 1 - A
u1 = 1 geeft  A (1/2 + 1/25) + B (1/2 - 1/25) = 1
A (1/2 + 1/25) + (1 -  A) (1/2 - 1/25) = 1
A (1/2 + 1/25) + (1/2 - 1/25) - A (1/2 - 1/25) = 1
A 5 = 1 - 1/2 + 1/25
A 5 = 1/2 + 1/25
A =    ( + 5)/5/√5  + 1/2  = 1/105 + 1/2
dan is  B = 1 -  A = -1/10√5 + 1/2
Dat geeft  un = (1/105 + 1/2) (1/2 + 1/25)n  -  (1/105 - 1/2) (1/2 - 1/25)n
       
3.  un = 0 un - 1 +  un-2  met  u0 = 2 en u1 = 4
Karakteristieke vergelijking   g2 - 1 = 0
g
= 1  ∨  g = -1
Algemene oplossing:   un = A 1n + B (-1)n
u0 = 2  geeft   2 = A + B  dus  B = 2 - A
u1 = 4  geeft  4 =  A - B
4 = A - (2 - A)
4 = A - 2 + A
6 = 2A
A = 3  en dan is  B = 2 - 3 = -1
Dat geeft  un = 3 1n  - 1  (-1)n
u
20093 12009 - 1 (-1)2009 = 3 - - 1 = 4
       
4. a.  un = aun-1 + bun-2 
De karakteristieke vergelijking wordt   g2 - ag - b = 0
Als a + b = 1  dan is  b = 1 - en dan is de vergelijking   g2 - ag - 1 + a = 0
g =
1  geeft  1 - a - 1 + a = 0  en dat klopt inderdaad.   
       
  b. Noem de twee oplossingen van de karakteristieke vergelijking  1 en  g
Algemene oplossing:   un = A 1n + B gn 
1n = 1 voor elkedus dat wordt  un = A + B gn    
       
  c. un = 1 + 3 2n 
De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn kennelijk   g = 1  en  g = 3
(g - 1)(g - 3) = g2 - 4g + 3
Dat gaf als recursievergelijking   un = 4un - 1 - 3un - 2
u
0 = 1 + 3 20 =  4  en  u1 = 1 + 3 21 = 7
Samen:   un = 4un - 1 - 3un - 2   met  u0 = 4  en u1 = 7
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)