© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De som van een rekenkundige rij.
   
Voor de verandering begin ik deze les eerst eens met een formule, en daarna pas geef ik een bewijs ervan.

Het gaat over de som van een aantal (n) opeenvolgende getallen van een rekenkundige rij. Dat wil zeggen: tel 
n opeenvolgende getallen van een rekenkundige rij bij elkaar op. Wat komt daar uit?

De beloofde formule:  "De som (
Σ) van n termen van een rekenkundige rij is gelijk aan:"
 
Σ =  1/2 n (eerste  + laatste)
 

Oké. dat was de formule.
Dan nu maar de bewijzen....


Een visueel bewijs.....

   
Stel dat we 1 + 3 + 5 + 7 + ... + ..... + 23 willen optellen.  Dat is namelijk een rekenkundige rij, dat had je hopelijk al wel gezien (als je dat niet had gezien ga dan alsjeblieft hier weg en begin opnieuw met het onderwerp rijen en reeksen....).

OK... we maken van deze getallen eerst staafjes van zoals hiernaast is getekend.

De som is dus gelijk aan de oppervlakte van al die staafjes hiernaast.

En nou is die oppervlakte toevallig erg makkelijk uit te rekenen.

Als je hem halverwege doorsnijdt dan passen de beide helften precies op elkaar!!!
Kijk maar in de tekeningen hieronder.

   

   
De oppervlakte is dus  0,5n • (E + L) en dat is onderdaad de formule van hierboven. Ook als n een oneven aantal is, kun je dit trucje uithalen door gewoon die middelste staaf doormidden te doen.
   
Voorbeeldje.
Bereken:  4 + 9 + 14 + 19 + 24 + 29 + ... + 74

Dit is een rekenkundige rij.
Noem de eerste term u0, dan is de directe formule:  un = 4 + 5n
4 + 5n = 74  geeft  n = 14 dus de laatste is nummer 14
 
Er staan dus 15 termen (0 tm 14).
De som is daarom  0,5 • 15 • (4 + 74) = 585.
   
  OPGAVEN
   
1. Bereken algebraïsch:
         
  a. 12 + 19 + 26 + 33 + 40 + ... + 208
       

3190

  b. 2 + 57 + 112 + 167 + 222 + ... + 6822
       

426500

         
2. Een boer heeft 2000 geiten.
Elke geit geeft elke dag een halve liter melk.
Echter, elke dag worden er 5 geiten geslacht (nadat ze melk hebben gegeven).
De eerste dag krijgt de boer dus 1000 liter melk.
Na 400 dagen zijn alle geiten weg.
Hoeveel liter melk heeft de boer dan in totaal gekregen?
     

200500 liter

   
3. Een kunstenaar gaat een geluidswal langs een snelweg versieren. Dat doet hij door er afwisselend zwarte en rode verticale strepen op te schilderen. De eerste streep (n = 1)  is 5 cm breed, en elke volgende streep is 3 cm breder dan de vorige. Dat geeft zo'n soort effect:
       
 

       
  Hij begint met een zwarte streep. De hele schutting is 49 meter breed.
       
  a. Geef een directe formule voor de breedte van streep nummer n.
     

3n + 2

  Voor de totale lengte L die hij na n strepen heeft geverfd geldt:  L(n) = 3,5n + 1,5 n2
       
  b. Toon aan dat deze formule juist is, en leg daarna uit dat uit deze formule volgt dat de kunstenaar in totaal 56 strepen kan verven.
       
  Na  56 strepen is de schutting dus vol geverfd. De laatste streep past precies tot het einde van de schutting.
       
  c. Wat is de totale breedte van alle zwarte strepen die hij heeft geverfd?
     

2408 cm

       
4. Sven Kramer was een kanjer op de 10 kilometer.  Zoals je vast wel weet bestaat de 10 km schaatsen uit 25 rondjes van elk 400 meter.
Stel dat Sven het eerste rondje rijdt in  34.0  maar elk volgend rondje 0,2 seconden langzamer dan het vorige.
Dat heet in vaktermen een oplopend schema.
       
  a. Wat zal zijn eindtijd dan zijn?  
     

15 : 10

  b. Hoe snel zou hij het eerste rondje moeten rijden om met dit oplopende schema een eindtijd van 15 minuten te halen?
     

33,6 seconden

       
5. Ik teken op papier een aantal trapjes (zie figuur onder). eerst één met onderkant 1, dan één met onderkant 2, dan met onderkant 3, enzovoorts.
De omtrek van trapje nummer n noem ik un, de oppervlakte van trapje n noem ik vn.
       
 

       
  a. Ik ben van plan 100 trapjes te gaan tekenen maar bij nummer 80 merk ik dat mijn pen leeg begint te raken. Hoeveel procent van de totale lengte van alle lijntjes die ik moet tekenen voor 100 trapjes heb ik na 80 trapjes al getekend?
       
  b. Bereken de oppervlakte van het honderdste trapje.  
       
6. Eerst tel je een aantal getallen vanaf 1 bij elkaar op, dus  1 + 2 + 3 + ... + n
Daarna mag je één van deze getallen weglaten.
Van de overige getallen bereken je het gemiddelde.
Daar komt 357/17 uit. Ik ben nu erg benieuwd welk getal is weggelaten...
       
  Het hoogst mogelijke gemiddelde is gelijk aan  0,5(n + 2) en het laagst mogelijke gemiddelde aan 0,5n
       
  a. Toon dat aan.  
       
  b. Welk getal is weggelaten?  
     

7

   
7. (olympiadevraagstuk)
Men vormt een spiraal door allemaal halve cirkels tegen elkaar aan te leggen. De afstand tussen twee cirkels is steeds 1. Zie de figuur hiernaast.

Wat is de lengte van de spiraal als men 100 zulke halve cirkels tekent?

 

     

2575π

       
8. Hiernaast zie je een blokvormige spiraal die in een vierkant van zijde 8 past. De windingen hebben een onderlinge afstand van 1 cm.

     
  a. Hoe lang is de spiraal in totaal?
     
  b. Hoe lang wordt zo'n spiraal in een vierkant met zijde 150 cm?
     
  c. Hoe groot zou het vierkant moeten zijn om een spiraal met lengte meer dan 10000 te krijgen?
       
9. Iemand begint een baantje als leerling meubelmaker. In het begin maakt hij alleen maar stoelen.
De eerste dag zet hij 8 stoelen in elkaar, maar daarna krijgt hij steeds meer ervaring. Elke volgende dag zet hij 3 stoelen méér in elkaar dan de vorige.
Noem het aantal stoelen dat hij de nde dag in elkaar zet sn
       
  a. Geef een recursievergelijking en een directe vergelijking voor sn
       
  b. Hoeveel stoelen heeft hij in totaal in elkaar gezet na 50 dagen?  
       
10. Een goede vriend van mij heeft 10.000,- van me geleend.
We hebben afgesproken dat hij mij elke maand een bedrag zal terugbetalen. De eerste maand is dat  €100, en elke volgende maand is dat 20 euro meer dan de vorige.
       
  a. Geef een directe formule voor het bedrag dat hij mij in maand n terugbetaalt.
     

80 + 20n

  b. Hoeveel heeft hij na 12 maanden in totaal terugbetaald?
     

2520

  Voor het totale bedrag B dat hij na n maanden heeft terugbetaald geldt de formule  B = 10n2 + 90n.
       
  c. Toon dat aan.  
       
  d. Hoe lang zal het duren voordat zijn gehele schuld is terugbetaald?  
     

28 maanden

 
     
Leuke breinbreker...

Iemand wil graag uitrekenen hoeveel  1002 - 992 + 982 - 972 + ... + 22 - 12 is.
Helaas is dit geen rekenkundige of meetkundige rij.
Maar kijk wat er gebeurt als je de termen twee-aan-twee bekijkt:

1002- 992 = 1002 - (100 - 1)2 = 1002 - 1002 + 2 • 100 - 1 = 2 • 100 - 1
982 - 972 = 982 - (98 - 1)2 = 982 - 982 + 2 • 98 - 1 = 2 • 98 - 1

Zo wordt de rij  (2 • 100 - 1) + (2 • 98 - 1) + (2 • 96 - 1) + , ....., +  (2 • 2 - 1)
Dat is 199 + 195 + 191 + ... + 3 

Een rekenkundige rij van  50 termen waarvan de som gelijk is aan  0,5 • 50 • (199 + 3) = 5050

Leuk toch.......?

   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)