h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. 12 + 19 + 26 + 33 + 40 + ... + 208
un = un - 1 + 7
de directe formule is  un = 7n + 5
7n + 5 = 208  geeft  n = 29
S = 0,5 29 (12 + 208) = 3190
       
  b. 2 + 57 + 112 + 167 + 222 + ... + 6822
un = un - 1 + 55
de directe formule is  un = 55n - 53
55n - 53 = 6822  geeft  n = 125
S = 0,5 125 (2 + 6822) = 426500
       
2. eerste dag:  2000 0,5 = 1000 liter
tweede dag:  1995 0,5 = 997,5 liter
derde dag:  1990 0,5 = 995 liter
vierhonderdste dag:  5 0,5 = 2,5 liter

dat geeft de rij  1000 - 997,5 - 995 - ...  - 2,5
S = 0,5 400 (1000 + 2,5) = 200500 liter
       
3. a. de rij is  5 - 8 - 11 -
een directe formule is  un = 3n + 2
       
  b. Met n strepen is de eerste 5 en de laatste  3n + 2
S = 0,5 n(5 + 3n + 2)  = 0,5n (3n + 7) = 1,5n2 + 3,5n

n
= 56 geeft  L = 4900 en dat is inderdaad 49 meter
 
       
  c. de zwarte strepen zijn  5 - 11 - 17 - ....
een directe formule is  un6n - 1
er zijn 28 zwarte strepen, dus de laatste heeft breedte  6 28 - 1 = 167
S = 0,5 28 (5 + 167) = 2408 cm
       
4. a. de rij van rondetijden is 34.0 - 34.2 - 34.4 - ....
een directe formule is  un = 0,2n + 33,8
rondje 25 duurt dan  0,2 25 + 33,8 = 38,8 seconden
S =  0,5 25 (34.0 + 38.8) = 910 seconden
Dat is 15 minuten en 10 seconden
       
  b. Als het eerste rondje x seconden duurt is het laatste rondje x + 0,2 + 0,2 25  = x + 5,2
S = 0,5 25 (x + x + 5,2) = 15 60 = 900
12.5 (2x + 5,2) = 900
25x + 65 = 900
25x = 835
x = 33,4 sec.
       
5. a. het aantal lijntjes (en dus de omtrek) is:   4 - 8 - 12 - 16 - ....
un = 4n
Het 100ste trapje heeft  u100400
S100 = 0,5 100 (4 + 400) = 20200

u80 = 320
S80 = 0,5 80 (4 + 320) = 12960

Dat is 12960/20200 100% = 64,2%
       
  b. Het honderdste trapje heeft oppervlakte  100 + 99 + 98 + ... + 1   (alle lagen optellen)
S = 0,5 100 (100 + 1) = 5050
       
6. a. De som van n getallen is  Sn = 0,5n(1 + n) = 0,5n + 0,5n2

het hoogst mogelijk gemiddelde krijg je als je het getal 1 weglaat.
Dan is de som  0,5n + 0,5n2 - 1 = 0,5(n2 + n - 2) = 0,5(n - 1)(n + 2)
Voor het gemiddelde moet je dat delen door n - 1  dus dat geeft  0,5(n + 2) 

Het laagst mogelijke gemiddelde krijg je als je het getal  n weglaat
Dan is de som  0,5n + 0,5n2 - n  = 0,5(n2 - n) = 0,5n(n - 1)
Voor het gemiddelde moet je dat delen door n - 1 dus dat geeft  0,5n
       
  b. 0,5n = 357/17  geeft  n = 7014/17
0,5(n + 2) = 357/17 = 6814/17
n  zou gelijk kunnen zijn aan 69 of aan 70

Als je 69 getallen hebt is de som  S69 = 0,5 69 (1 + 69) = 2415
Van de overgebleven 68 getallen is het gemiddelde 357/17  dus de som 68 357/17 = 2408
Dus is het getal 7 weggelaten

Als je 70 getallen hebt is de som  S70 = 0,5 70 (1 + 70) = 2485
Van de overgebleven 69 getallen is het gemiddelde 357/17  dus de som 69 357/17 = 24437/17 en dat kan niet

Conclusie:  het getal 7 is weggelaten.
       
7. de halve cirkels hebben straal   1 - 1,5 - 2 - 2,5 - ..... - 50,5
de halve cirkels hebben omtrek   πr  dus   π ( 1 - 1,5 - 2 - 2,5 - ..... - 50,5)
S = π 0,5 100 (1 + 50,5) = 2575π (8089,6)
       
8. a. de lengtes zijn   8 -8 - 8 - 7 - 7 - 6 - 6 - 5 - 5 - .... - 1 - 1
dat is samen  8 + 2 (8 + 7 + 6 + ... + 1) = 8 + 2 0,5 8 (1 + 8) = 80
       
  b. dat wordt:   150 + 2 0,5 150 (1 + 150) = 22800 cm
       
  c. als het vierkant zijden n heeft is de spiraal  n + 2 0,5 n (1 + n)
dat is  n + n (1 + n) = 2n + n2 
2n + n2 = 10000
n
2 + 2n - 10000 = 0
ABC-formule:  n(-2 (4 + 40000))/2  = 99,5    (of -101 maar dat kan niet)
Het vierkant moet dan minstens zijden van 100 cm hebben
       
9. a. de rij is  8 - 11 - 14 - 17 - ...
recursievergelijking:  sn = sn - 1 + 3  met  s1 = 8
directe vergelijking  sn = 3n + 5
       
  b. s50 = 3 50 + 5 = 155
Som = 0,5 50 (8 + 155) = 4075
       
10. a. de rij terugbetaalbedragen is   100 - 120 - 140 - 160 - ....
directe formule:  un = 20n + 80
       
  b. u12 = 20 12 + 80 = 320
som is  0,5 12 (100 + 320) = 2520
       
  c. Sn = 0,5 n (100 + 20n + 80)
Sn = 0,5n (180 + 20n)
Sn = 90n + 10n2
 
       
  d. 90n + 10n2  = 10000
10n2  + 90n  - 10000 = 0
n2 + 9n - 1000 = 0
ABC-formule:  n = (-9 (81 + 4000))/2 = 27,4  (of  -36,4 maar dat kan niet)
Het duurt dus 28 maanden
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)