© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

  
   
Ring.  
Een blauwe cirkel laten we rondjes draaien, waarbij het middelpunt steeds op een grotere rode cirkel ligt.

Dan krijg je zo'n soort doughnut als hiernaast.
Wiskundigen noemen dat een ring  (Engels: "torus")

Noem de straal van de kleine blauwe cirkel r en die van de grote rode cirkel R.
   
Deze les zullen we een aantal interessante eigenschappen van zo'n ring bekijken.

Oppervlakte.

De oppervlakte van zo'n ring is lastig te bepalen. Je moet er iets van integralen voor weten. Als je dat weet, en je bent nieuwsgierig, lees dan de verdieping hiernaast.
De conclusie daarvan is:  
   

De oppervlakte van een ring is  4π2rR
       
Inhoud.

De inhoud van een ring is op een originele manier te bepalen.
Laat een horizontaal vlak de ring doorsnijden zoals in de figuur hieronder.
       

       
Links zie je het vlak de ring doorsnijden, rechts zie je een bovenaanzicht.
In het bovenaanzicht heeft de blauwe ring een oppervlakte die gelijk is aan het verschil van twee cirkels,
 
De stralen van die twee cirkels hangen af van de hoogte van het doorsnijdende vlak.  Als het vlak de ring net raakt zijn beide stralen R en is de oppervlakte 0. In het midden van de ring zijn de stralen R - r en R + r.  
Hiernaast zie je de situatie op willekeurige hoogte h.
Daarin geldt:  a = √(r2 - h2)
De oppervlakte tussen de twee cirkels in de figuur rechts is dan:
O = π(R + a)2 - π(R - a)2  = π{R2 + 2aR + a2 - R2 + 2aR - R2}
= 4aπR = 4πR√(r2 - h2)

       
Het leuke komt als je precies hetzelfde ook met een cilinder doet:
       

       
Kies de straal van die cilinder r (net als de blauwe cirkel bij de ring)
Op hoogte h geldt dan (met precies dezelfde tekening als bij de ring) dat a = √(r2 - h2)
De blauwe strook heeft dan breedte 2a = 2√(r2 - h2)
Als je de lengte van de cilinder nou gelijk kiest aan 2πR, dan is de oppervlakte van die blauwe strook precies gelijk aan de oppervlakte tussen beide cirkels bij de ring!!

Maar als al die doorsnedes dezelfde oppervlakte hebben, en we maken er hele dunne schijfjes met dikte dh van, dan hebben beide figuren dezelfde inhoud. De inhoud van een ring is gelijk aan de inhoud van een cilinder met dezelfde doorsnede en hoogte 2πR.
       

De inhoud van een ring is  2π2r2R
       
Als het gat verdwijnt...
       
Alle afleidingen hierboven gingen er vanuit dat er een gat in de ring zat. Dat betekent dat de formules alleen gelden als r < R
Als dat niet zo is, dan doorloopt die blauwe cirkel in zijn baan om de rode cirkel een deel van de ruimte dubbel. De ring is meer dan dichtgegroeid. Dat ziet er ongeveer zó uit (opengewerkt: in het midden zie je het deel dat ontstaat omdat de straal van de blauwe cirkel (r) groter is dan de straal van de rode (R))
       

       
Cool trucje tot slot.

Als je een klein gaatje in het oppervlak van een ring maakt dan kun je hem daardoor binnenstebuiten keren!
Kijk maar:
       
 
Let erop dat de grijze ringen in de twee situaties precies andersom lopen.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)