methode van verschillen


De Methode van de Verschillen.	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De methode van de verschillen is helemaal gebaseerd op één, eigenlijk nogal simpele, observatie:

Neem bijvoorbeeld n = 4, dan staat aan de linkerkant: (f(2) - f(1)) + (f(3) - f(2)) + (f(4) - f(3)) + (f(5) - f(4))
Maar als je de haakjes wegwerkt dan vallen alle termen twee aan twee tegen elkaar weg en blijven alleen f(5) - f(1) over.

Laten we zien hoe deze eenvoudige regel het mogelijk maakt om de som van een rij kwadraten te bepalen.
Stel dat je een formule wilt maken voor 1² + 2²+ 3² + ... + n²

De eerste slimme opmerking is dan, dat je kwadraten "ongeveer" kunt schrijven als het verschil van derdemachten.
Kijk maar: (i + 1)³ - i³ = i³ + 3i² + 3i + 1 - i³ = 3i² + 3i + 1.
Neem daarom in bovenstaande simpele formule voor f de functie i³, dan staat er:

Van die drie laatste sommen zijn er twee bekend: de laatste twee namelijk.
De laatste is natuurlijk gewoon n, en de middelste is een rekenkundige rij, waarvan we al een formule voor de som hebben.
Maar de f(n + 1) - f(1) is natuurlijk ook gewoon gelijk aan (n + 1)³ - 1

Breng nu die laatste twee termen aan de rechterkant ook naar links, dan heb je:

Dat laatste kun je nog wat "mooier" schrijven als je daar zin in hebt:
¹/₆(2n³ + 3n² + n) = ¹/₆n(2n² + 3n + 1) = ¹/₆n(n + 1)(2n + 1). Dat geeft het prachtige resultaat:

Leid deze formule zelf af uit de functie f(x) = x⁴.

Leg uit waarom geldt: (1 + 2 + 3 + ...+ 10)² = 1³ + 2³ + ... + 10³Grappig toch? Dat de som van opvolgende derdemachten steeds een kwadraat oplevert!

Geef een formule voor de eerste n termen in de rij: (1²) + (1² + 2²) + (1² + 2² + 3²) + (1² + 2² + 3² + 4²) ...

Voor een vreemde rij u_n geldt dat de som van de eerste n termen gelijk is aan
S_n= ¹/₂n⁵ + 2n
Bereken u₅ + u₆ + u₇

7897,5

Telescoopsommen.

Laten we beginnen met een raadsel:

De grote loterij duurt maar liefst tien dagen.
De eerste dag is het nog simpel: er staat een vaas met twee verschillende knikkers, die er uit gehaald gaan worden.
Iedereen die de volgorde goed voorspelt krijgt een goudstaaf.
Maar de tweede dag zitten er drie verschillende knikkers in de vaas. Om nu de prijs te krijgen moet je de volgorde van die drie knikkers goed voorspellen. Dat is natuurlijk moeilijker, maar de prijs is dan ook groter: twee goudstaven.
De derde dag zijn er vier knikkers en is de prijs 3 goudstaven.
Dat gaat zo maar door.
Dus op de tiende en laatste dag zijn er 11 knikkers en is de prijs maar liefst 10 goudstaven.

Hoeveel geld verwacht je te winnen als je elke dag meedoet?

De oplossing;

Iedereen kan de verwachtingswaarde wel uitrekenen natuurlijk. Neem bijvoorbeeld de zesde dag. Dan zitten er 7 knikkers in de vaas. Die kunnen er op 7! (=5040) manieren. De kans dat je de goede volgorde kiest is dus ¹/_7!
De prijs is op de zesde dag 6 goudstukken, dus de verwachtingswaarde voor het te winnen bedrag de zesde dag is ⁶/_7! (≈ 0,00119) goudstaaf.

Als we alle dagen bij elkaar optellen krijgen we voor het te verwachten aantal goudstaven de volgende som:

Laten we die stap voor stap anders gaan schrijven:

En kijk eens aan: als je de haakjes weglaat zie je dat bijna alles elkaar opheft. De tweede en derde term, de vierde en vijfde term, de zesde en zevende term enzovoort.
Het enige dat overblijft zijn de eerste en laatste term:

De laatste som hierboven, die waarbij alle termen elkaar opheffen, heet een telescoopsom
Immers hij schuift als het ware uit van de eerste term naar de laatste, waarbij alle tussenliggende zó in elkaar kunnen klappen: alleen de eerste en de laatste doen er toe. De algemene vorm van een telescoopsom is:

In dit voorbeeldgeval was trouwens f(k) = ^k/_{(k
+ 1)!}

In feite hebben we dat helemaal boven aan deze les bij die som van de kwadraten ook gedaan.
Als je namelijk op zoek zou gaan naar 1² + 2² + 3² + .... + n² dan ga je natuurlijk zoeken naar een functie waarvoor geldt dat f(x + 1) - f(x) = x²
Probeer je een derdegraadsfunctie f(x) = ax³ + bx² + cx + d dan levert dat al snel op dat a =¹/₃ en b = -¹/₂ en c = ¹/₆.
Conclusie: als f(x) = ¹/₃x³ - ¹/₂x² + ¹/₆x dan geldt f(n + 1) - f(1) = 1² + 2² + 3² + ... + n²
Dat geeft dan f(n + 1) - f(1) = ¹/₃(n + 1)³ - ¹/₂(n + 1)² + ¹/₆(n + 1) - 0 = ..... = ¹/₃n³ + ¹/₂n² + ¹/₆n
En dat is (uiteraard) precies het resultaat dat we eerder al vonden.

Op oudejaarsdag is het tijd voor goede voornemens.....
Ik nummer daarom de dagen van het komende jaar 1 tm 365
Ik ga een computer elke dag vragen willekeurig twee dagnummers te trekken uit de dagen die al zijn geweest

Ik begin daarmee op dag 3 (dus op 3 januari) en eindig op dag 365 (31 december)
Elke keer als de computer precies eerst "dag 1" en daarna "dag 2" kiest, dan geef ik €100 aan een goed doel.
Hoeveel geld zal dat goede doel gemiddeld krijgen?

Schrijf een uitdrukking voor dit bedrag op.

Je kunt dit bedrag berekenen met een telescoopsom als je je bedenkt dat ¹/_{n(n
+ 1)} = ¹/_n - ¹/_{(n
+ 1)}

Bereken op deze manier het verwachte bedrag.

€99,73

Geef een formule voor de som S_nals de eerste term uit de rij n = 0 is

⁵/₁₂