h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. (i + 1)4  = i4 + 4i3  + 6i2 + 4i + 1
(i + 1)4 - i4 = 4i3  + 6i2 + 4i + 1
   
    De laatste drie termen aan de rechterkant zijn intussen bekend:
   
   
   
    Dat geeft:
   
    = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 - 1 - n(2n2+ n + 2n + 1) - 2n2 - 2n - n
= n
4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 - 1 - 2n3 - n2 - 2n2 - n - 2n2 - 2n - n
= n4 + 2n3 + n2
= n2 (n2 + 2n + 1)
= n2 (n + 1)2
    Delen door 4:  
   
       
  b. Aan de linkerkant in de formule hierboven staat  13 + 23 + ... + n3
Omdat  1/2n(n + 1) = (1 + 2 + 3 + ... + n)  staat aan de rechterkant   (1 + 2 + ... + n)2
Die zijn dus gelijk
       
  c. 12 + 22 + ... + n2 = 1/6(2n3 + 3n2 + n)  
   
    = 1/3(1/4(n4 + 2n3 + n2 ) + 1/2(1/6(2n3 + 3n2 + n) + 1/6(1/2(n(n + 1))
= 1/12(n4 + 2n3 + n2 ) + 1/12(2n3 + 3n2 + n) + 1/12(n2 + n)
= 1/12(n4 + 2n3 + n2 + 2n3 + 3n2 + n + n2 + n)
= 1/12(n4 + 4n3 + 5n2 + 2n)
= 1/12n(n3 + 4n2 + 5n + 2)
       
2. S7 = 1/2 75 + 2 7 = 8417,5
S4 = 1/2 45 + 2 4 = 520
u5 + u6 + u7 = S7 - S4 = 7897,5
       
3. a. eerste keer:  2 dagen geweest  P = 1/2 1
tweede keer:  3 dagen geweest:  P = 1/3 1/2
derde keer:  4 dagen geweest P = 1/4 1/3
enz.
Gemiddelde bedrag is dan 100 (1/2 1 + 1/3 1/2 + 1/4 1/3 + ... + 1/364 1/363)
       
  b. 1/2 1 + 1/3 1/2 + 1/4 1/3 + ... + 1/364 1/363
=   1/(2 1) + 1/(3 2) + 1/(4 3) + .... + 1/(364 363)
(met de gegeven regel)
=   (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + .... + (1/363  - 1/364)
Dat valt bijna allemaal weg, en dan blijft over:   1/1 - 1/364 = 363/364
Het gemiddelde bedrag is dan  100 363/364 = 99,73 
       
4. a.
       
  b. Sn = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ... + (1/n + 1 - 1/n + 2)
Bijna alles valt weg, en er blijft over  Sn = 1 - 1/(n + 2)
 
       
5. a.
       
  b. verander de termen met de formule uit vraag a), dan staat er:

S = (0,5/2 - 0,5/4) + (0,5/3 - 0,5/5) + (0,5/4 - 0,5/6) +  (0,5/5 - 0,5/7) + (0,5/6 - 0,5/8) + (0,5/7 - 0,5/9) ... +
Behalve die zwarte termen valt alles weg.
Dus blijft over   0,5/2 + 0,5/3 = 1/4 + 1/6 = 5/12
       

h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)