Raaklijnen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Een raaklijn is een rechte lijn die een grafiek raakt.

Maar ja, daar schiet je natuurlijk nog niets mee op, want wat is nou raken?
De volgende plaatjes maken misschien duidelijk wat daarmee wordt bedoeld.
   

   
Je ziet één of andere groene grafiek, met steeds een blauwe rechte lijn erbij getekend.
Eén van die plaatjes is speciaal!
Zie je welke?

Wiskundigen vinden plaatje nummer 5 een speciale. Daarin ligt die blauwe lijn net "tegen de grafiek aan". Je zou ook kunnen zeggen dat de blauwe lijn "precies langs" de grafiek loopt.
Zo'n lijn die "langs de grafiek loopt" of "ertegenaan ligt" heet een raaklijn.
   
Nou is dat "er langs lopen" of "er tegenaan liggen" natuurlijk niet netjes wiskundig gezegd. Je kunt dat nauwkeuriger zo zeggen:

"Een raaklijn in een punt van een grafiek heeft dezelfde helling als de grafiek in dat punt".

(Eerder hebben we al precies bekeken wat we bedoelen met de helling van een grafiek in een punt).

Het punt waar de raaklijn de grafiek raakt heet heel toepasselijk het raakpunt.
Let dus goed op je taalgebruik; er is een groot wiskundig verschil tussen raken en snijden!
   

   
Rechts hierboven zie je dat één lijn een grafiek zelfs zowel kan raken als snijden!

Een andere manier om het te zien.
Als je  maar een héél klein stukje van een grafiek bekijkt, dan is dat bij benadering ongeveer een recht lijntje. Als je er nog kromming in ziet dan moet je gewoon een nóg kleiner stukje bekijken.
Dus op den duur, als je een héél, héél, héél, héél, hééééééél klein stukje van een grafiek bekijkt dan is dat zo goed als een recht lijntje.
Nou; de raaklijn is dat mini rechte lijntje, maar dan doorgetrokken.

   
Hoe maak je de vergelijking van een raaklijn?
   
Dat is gelukkig erg eenvoudig.
Je moet je op de eerste plaats bedenken dat een raaklijn een rechte lijn is, dus de formule ervan zal er uitzien als  y = ax+ b.
Die lijn is makkelijk te vinden, immers je weet dat de helling van de raaklijn gelijk is aan de helling van de grafiek in het raakpunt. En die laatste kun je vinden door de x van het raakpunt, xR, in te vullen in de afgeleide functie f '.
 
helling raaklijn = helling grafiek
a = f '(xR)
   
Om nu een raaklijn op te stellen volg je de volgende drie stappen:
     
STAP 1.  
  Bereken de coördinaten (xR, yR) van het raakpunt. xR wordt meestal gegeven, yR kun je berekenen door xR in het functievoorschrift in te vullen.
     
STAP 2.  
  Bereken de helling a van de raaklijn:  a = f ' (xR), dus je vult xR in in de afgeleide functie f ' .
     
STAP 3.  
  Bereken de b van de lijn door het raakpunt (xR, yR) in te vullen in y = ax + b.
     
Voorbeeld.
Gegeven is de functie  f(x) = 3x3 - 2x + 1. 
Geef de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt waarvoor x = 2.

Oplossing:
f(2) = 3 • 23 - 2 • 2 + 1 = 21 dus het raakpunt is  R(2, 21)
f ' (x) = 9x2 - 2, dus  a = f ' (2) = 9 • 22 - 2 = 34
y = ax + b geeft dan  21 = 34 • 2 + b  ofwel  b = -47
De raaklijn is de lijn  y = 34x - 47.
   
Met de TI-83

En ja, natuurlijk kan dit alles ook met de TI-83.

Zet het functievoorschrift in Y1
Plot de grafiek.
Toets dan in  2nd  DRAW  5: Tangent( ENTER
Druk dan op  2  en onder in beeld verschijnt
X = 2. Nogmaals ENTER en je krijgt de vergelijking van de raaklijn onder in beeld.

Hij tekent 'em zelfs voor je!!
   
   
1. Bereken algebraïsch de vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f(x) in de volgende gevallen:
       
  a. f(x) =  4x2 + 2x - 6  bij  x = -3.

y = -22x - 42

  b. f(x) = 4x - 5  bij  x = 4.

y = x - 1

  c. f(x) = 4 - 6/x  bij  x = -2.

y = 51/2x + 6

  d. f(x) = 3x4 - 5x2 + 2x  bij  x = 1. 

y = 4x - 4

  e. f(x) = x2x  bij  x = 2.

y = 52 • x - 62

       
2. De lijn  y = 10x + p  raakt de grafiek van  f(x) = 6x - x2
Bereken algebraïsch de waarde van
     

p = 12

   
3. Geven is de functie  f(x) = 1/x2 + 2x2x + 4
Geef een vergelijking van de raaklijn in het punt (1,7) aan de grafiek van f.
     

y = 3x + 4

       
4. Gegeven is de functie  f(x) = 2x3 - 6x2 + x
De grafiek van  f  heeft twee raaklijnen met hellinggetal 49.
Bereken algebraïsch de verticale afstand tussen die twee raaklijnen.
     

  216 

       
5. Ik ontdekte laatst een grappige eigenschap van parabolen. 
Stel dat je een raaklijn tekent door een punt P van een parabool
Stel dat je ook een horizontale lijn l tekent door de top.
Stel dat je die raaklijn snijdt met lijn l en stel dat je dat snijpunt S noemt.
Stel dat je vanuit P een verticale lijn snijdt l en dat je dat snijpunt Q noemt.

Dan is S altijd het midden van  TQ!
Grappig hé?

Bewijs deze uiterst vermakelijke eigenschap voor de parabool  y = x2 

       
6. Bewijs dat de grafiek van  f (x) = x3 - 2x2 - 15x + 36  de x-as raakt.
       
7. Een jongetje krijgt op tijdstip t = 0 de griep. Als gevolg daarvan begint zijn temperatuur meteen te stijgen. Voor deze soort griep geldt voor de temperatuur T (in ºC) het model  
T(t) = 0,02t3 - 0,4t2 + 2t + 37 
met t in dagen, en 0 ≤ t 10.

De grafiek van T(t) zie je hiernaast.

     
  a. Met welke snelheid (ºC/dag) neemt de temperatuur in het begin toe?
   

1,26 ºC/dag

       
  b. Het jongetje meet op t = 4 hoe snel zijn temperatuur afneemt. Vervolgens berekent hij hoe lang het zal duren totdat hij weer 37ºC is als die afnamesnelheid zo zou blijven.

Maak die berekening.
     

 t = 16

       
8. Alle grafieken van y = xn gaan door het punt (1,1).
Als je de raaklijn in het punt (1,1) aan de grafiek van y = xn tekent, dan snijdt die de y-as bij   y = 1 - n
       
  a. Toon dat aan.  
       
  b. Waar snijdt deze raaklijn de x-as?  
     

 (1 - 1/n,  ,  0)

       
9. examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 1993.
       
  In de figuur hiernaast zijn drie bergparabolen getekend met raaklijnen in de snijpunten A en B met de x-as. Deze raaklijnen snijden elkaar in punt S op de y-as. In elke tekening lijkt het erop dat S op een hoogte ligt die tweemaal zo groot is als de hoogte van top T.

Om de bewering: "S ligt tweemaal zo hoog als T" te bewijzen gaan we uit van de parabolen met vergelijking:
y = -a(x2 - 1),  met  a > 0

Bewijs de bewering voor deze parabolen.

       
10. Gegeven is de functie  f(x) = (x + 8)
       
  a. Geef een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van f in het punt waar x = 1
       
  b. Benader met behulp van deze raaklijn de waarde van (9,03)  en kijk hoeveel procent deze waarde van de werkelijke waarde verschilt.
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)