Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
1. a. f(x) =  4x2 + 2x - 6  bij  x = -3.
f '(x) = 8x + 2  dus  f '(-3) = -22
f(-3) = 4 • (-3)2 + 2 • -3 - 6 = 24, dus het raakpunt is (-3, 24)
y = -22x + b ⇒  24 = -22 • -3 + b  ⇒  b = -42
De raaklijn is  y = -22x - 42
       
  b f(x) = 4√x - 5  bij  x = 4.
f '(x) = 0,5 • 4 • x-0,5   dus  f '(4) = 1
f(4) = 4√4 - 5 = 3, dus het raakpunt is (4, 3)
y = x + b ⇒  3 = 4 + b  ⇒  b = -1
De raaklijn is  y = x - 1
       
  c. f(x) = 4 - 6/x  bij  x = -2.
f '(x) = -1 • -6x-2   dus  f '(-2) = 1,5
f(-2) = 4 - 6/-2 = 7, dus het raakpunt is (-2, 7)
y = 1,5x + b ⇒  7 = 1,5 • -2  + b  ⇒  b = 10
De raaklijn is  y = 1,5x + 10
       
  d. f(x) = 3x4 - 5x2 + 2x  bij  x = 1. 
f
'(x) = 12x3 - 10x + 2 dus  f '(1) = 4
f(1) = 0, dus het raakpunt is (1, 0)
y = 4x + b ⇒  0 = 4 • 1  + b  ⇒  b = -4
De raaklijn is  y = 4x - 4
       
  e. f(x) = x2x  bij  x = 2.
f
'(x) = 2,5 • x1,5  dus  f '(2) = 5√2
f(2) = 4√2, dus het raakpunt is (2, 4√2)
y = 5√2 • x + b ⇒  4√2 = 5√2 • 2  + b  ⇒  b = -6√2
De raaklijn is  y = 5√2 • x - 6√2
       
2. y = 10x + p heeft helling 10, dus moet de grafiek in het raakpunt ook helling 10 hebben.
f ' = 6 - 2x = 10
2x = -4
x = -2
f(-2) = 6 • -2 - (-2)2 = -16 dus het raakpunt is  (-2, -16)
Daar moet y = 10x + p  doorheen gaan:  -16 = 10 • -2 + p
dat geeft  p = 4   
       
3. f(x) = 1/x2 + 2x2x + 4 = x-2 + 2x2,5 + 4
f ' =  -2x-3 + 5x1,5
f '(1) = 3 dus de raaklijn is  y = 3x + b
Daar moet (1,7) op liggen:   7 = 3 • 1 + b  ⇒  b = 4
De raaklijn is dan y = 3x + 4
       
4. f ' = 6x2 - 12x + 1
f '= 49  geeft   6x2 - 12x + 1 = 49
6x2 - 12x - 48 = 0
x2 - 2x - 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4 ∨  x = -2

x
= 4 geeft raakpunt  (4, 36).
y = 49x + b wordt dan   36 = 49 • 4 + ⇒   b = -160
de eerste raaklijn is  y = 49x - 160

x = -2 geeft raakpunt  (-2, -34)
y = 49x + b wordt dan   -34 = 49 • -2 + b  ⇒  b = 64
de eerste raaklijn is  y = 49x + 64

De verticale afstand daartussen is de afstand tussen de snijpunten met de y-as en die is 160 + 64 = 224
       
5. Noem het punt P(a, a2)
f ' = 2x  dus  f '(a) = 2a dus de raaklijn is de lijn y = 2ax + b
Die moet door (a, a2) gaan:  a2 = 2a• a + b   b = -a2
De raaklijn is dus  y = 2ax - a2
De horizontale lijn door de top is de x-as
Snijpunt van de raaklijn met de x-as:  0 = 2ax - a2
2ax = a2
x = 1/2a
Dat is inderdaad midden tussen de top (x = 0) en punt Q (x = a)
       
6. Alks de grafiek de x-asw raakt zal de helling daar nul moeten zijn.
f (x) = x3 - 2x2 - 15x + 36
f ' = 3x2 - 4x - 15 = 0
ABC-formule:  x = (4 ą√(16 + 180))/6 = (4 ą 14)/6 = 3 of -5/6
x = 3 geeft  y =   33 - 2 • 32 - 15 • 3 + 36 = 0 dus dat ligt inderdaad op de x-as
(x = -5/6 geeft y ģ 46,5)
       
7. a. T(t) = 0,02t3 - 0,4t2 + 2t + 37 
T ' = 0,06t2 - 0,8t + 2
T'(0) = 2
De temperatuur neemt in het begin toe met 2 ēC/dag
       
  b. T '(4) = 0,06 • 42 - 0,8 • 4 + 2 = -0,24
T(4) = 0,02 • 43 - 0,4 • 42 + 2 • 4 + 37 = 39,88
Het moet nog  39,88 - 37 = 2,88 ēC afnemen, dus dat duurt  2,88/0,24 = 12 dagen
       
8. a. y = x
y
' = nxn - 1 
y '(1) = n • 1n - 1 = n
De raaklijn is de lijn y = nx + b en gaat door (1,1)
1 = n • 1 + b ⇒   b = 1 - n
De raaklijn is y = nx + 1 - n
Die snijdt de y-as (x = 0) inderdaad bij y = 1 - n
       
  b. y = 0
0 = nx + 1 - n
nx
= n - 1
x = (n  - 1)/n = 1 - 1/n
De raaklijn snijdt de x-as in (1 - 1/n , 0)
       
9. y = -a(x2 - 1)
T ligt bij x= 0  ⇒   y = -a • -1  = a  dus  T = (0, a)
Snijpunt met de x-as:  x2 - 1 = 0  dus  (1, 0) en (-1,0)
Neem bijvoorbeeld het punt (1,0)
y ' = -a • 2x
y
'(1) = -a • 2 • 1 = -2a  dus de raaklijn is  y = 2ax + b en moet door (1,0) gaan
0 = -2a • 1 + b  geeft  b = 2a dus de raaklijn is  y = -2ax + 2a
Die snijdt de y-as in  S = (0, 2a) en dat is inderdaad twee keer zo hoog als T.
       
10. a. f '(x) =  1/2(x + 8)   dus  f '(1) = 1/6
De raaklijn is dan   y = 1/6x + b  en gaat door (1, 3)
3 = 1/6 • 1 + b geeft b = 25/6
De raaklijn is  y = 1/6x + 25/6   
       
  b. √(9,03) = 1/6 • 1,03 + 25/6 = 3,005
de werkelijke wortel is  3,00499584
Dat is een afwijking van  0,00000416  en dat is 0,000138%
       

Š h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)