pythagoras

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

De stelling van Pythagoras.

Pythagoras was een Griek die zo'n 500-600 jaar voor Christus leefde, en die een school runde die zich vooral bezig hield met GETALLEN. En dat waren in zijn geval alleen maar mooie gehele getallen.
Nou hielden die Grieken helemaal niet zoveel van getallen op zich; ze vonden meetkunde eigenlijk veel en veel interessanter. Daarom probeerden ze zoveel mogelijk om hun ontdekkingen over getallen te vertalen naar meetkundige beweringen.

Pythagoras (of misschien wel één van zijn leerlingen) ontdekte dat er tussen de lengte van de zijden van een rechthoekige driehoek een vast verband bestond.

Als je de zijden a, b, en c noemt, dan geldt:

a² + b² = c²

Maakt het nog uit welke je a, b of c noemt?

Jazeker!
Dat zie je al wel aan de formule. Die a en b die kun je vrij met elkaar verwisselen, dat verandert niks aan de formule. Maar die c, die is wel belangrijk. Die staat alleen en dat is de langste van de drie.
c is de schuine zijde.
Als je niet zeker weet welke dat is: het is de langste, en hij zit tegenover de rechte hoek.

c is de zijde tegenover de rechte hoek.
a en b zijn de andere twee.

Voorbeeld 1. Bereken het vraagteken in de figuur hiernaast
Oplossing:
x² = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
Dus x = √41

Voorbeeld 2. Bereken het vraagteken in de figuur hiernaast.
Oplossing:
8² = 6² + x²
64 = 36 + x²
x² = 28
Dus x = √28.

De Pythagoras-aanhangers vertaalden alles het liefst naar meetkundige figuren en de oppervlaktes daarvan in plaats van getallen.
Daarom vertaalden zij de formule a² + b² = c² ook in termen van oppervlaktes.
Een Pythagoreeër zou zich niet druk maken om letters, maar hij zou van de figuur hiernaast simpelweg beweren:

geel = groen + blauw

Leg duidelijk uit waarom deze bewering in feite dezelfde is als de stelling van Pythagoras a² + b² = c²

Leuk Voorbeeldje!!

Iemand spant een touw over een voetbalveld. Het veld is 100 meter lang en het touw loopt van de ene doelpaal strak over de grond naar de doelpaal aan dezelfde kant van de tegenoverliggende goal. Het touw is dus 100 meter lang. Vervolgens knipt hij op de middellijn het touw door en knoopt er een meter extra touw tussen.
Daardoor is het touw net iets te groot en kan hij het bij de middellijn een stukje van de grond optillen.
Hoe ver?

a. er kan een knikker onderdoor rollen.
b. er kan een krat bier onderdoor schuiven.
c. er kan een tafel onderdoor schuiven.
d. er kan een mens rechtop onderdoor lopen.
e. er kan een vrachtauto onderdoor rijden.

Maak eerst een schatting!
Het halve touw was eerst 50 meter lang, en is nu 50,5 meter lang geworden. Als je het zo ver mogelijk optilt krijg je met dat halve touw een rechthoekige driehoek met een schuine zijde van 50,5 en een rechthoekszijde van 50.
Dan geldt dus: 50,5² = 50² + b² ofwel b² = 50,5² - 50² = 50,25.
Dus b = √50,25 ≈ 7,1 meter! Kortom: antwoord e) is het juiste.

Bereken het vraagteken in de volgende driehoeken. Rond je antwoord af op twee decimalen.

A: 9,43; B: 6,00
C: 12,65; D: 54,15

Bereken het vraagteken in de volgende driehoeken. Rond je antwoord af op twee decimalen.

6,32 en 10,15

De driehoek met zijden 5 - 5 - 6 heeft dezelfde oppervlakte als een driehoek met zijden 5 - 5 - 8.
Bewijs dat!

In gelijkzijdige driehoek ABC met zijden 8 is E het midden van hoogtelijn CD.

Bereken de lengte van AE.

√28

Beginnend met een rechthoekige driehoek met twee rechthoekszijden van 1 tekent men een serie driehoeken.
Elke volgende driehoek neemt de schuine zijde van de vorige als rechthoekszijde en neemt een tweede rechthoekszijde van 1.

Bereken de oppervlakte van 8^e driehoek in deze serie (de oorspronkelijke telt als de eerste)

√2

Bereken de oppervlakte van de figuur hiernaast

6 + √6

Olympiadevraagstuk.

Bereken de oppervlakte van de figuur hiernaast.

Een ladder staat schuin tegen een verticale muur.
De top van de ladder raakt de muur op 7 meter boven de grond.
Als de voet van de ladder één meter verder van de muur af wordt gezet dan ligt de ladder plat op de grond.

Hoe lang is de ladder?

25 m

10.

Peter loopt over een rechte weg. Ergens schuin rechts van hem staat een hoogspanningsmast, precies 130 meter van hem verwijderd.
Hij loopt 100 meter verder, en dan is de hoogspanningsmast wéér precies 130 meter van hem verwijderd.
Hij loopt nog eens 110 meter verder.
Hoe ver is die mast nu van hem verwijderd?

200 m