© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

Boek II, propositie 10.
       
Deze propostitie is eigenlijk dezelfde als de vorige, maar nu met punt C op het verlengde van AB:
 

Als M  het midden van AB is, en C een punt op het verlengde van  AB,
dan is de som van de vierkanten op AC en CB 
tweemaal zo groot als de som van de vierkanten op AM en MC.

       
In de figuur hiernaast staan vier vierkanten waarvoor deze propositie zegt: :    geel + blauw = 2 • (groen + rood)

       
Teken MD loodrecht op AB en even lang als AM  (I-11) en (I-3)
Teken DE parallel aan AB    (I-31)
Teken EF parallel aan MD    (I-31)

DB en EC snijden elkaar in F.  (de hoeken MDE en DEC zijn samen 180º,
want lijn DE snijdt de parallelle lijnen MD en EC)  (I-29)
dus de hoeken BDE en DEC zijn minder dan 180º dus DB en EC snijden elkaar  (P5)

AMD en MBD zijn 45-45-90 driehoeken   (I-5)
dus ∠ADB is 90º
∠CBF = 45º  (overstaande hoeken)   (I-15)
dus driehoek BCF is ook 45-45-90
en driehoek EDF is ook 45-45-90

       
En nou gaan we weer vierkanten tekenen en die met Pythagoras met elkaar vergelijken, net als in de vorige propositie:
v(DM) = v(AM) want DM = AM
v(AD) = v(AM) + v(DM)  (Pythagoras)    (I-47)
dus  v(AD) = 2 • v(AM

v(EF) = v(DE)  want DE = EF
v(DF) =  v(DE) + v(EF)    (Pythagoras)    (I-47)
dus  v(DF) = 2 • v(DE)  =  2 • v(MC)   (want MC = DE) 

v(DF) + v(AD) = 2 • (v(AM) + v(MC)
maar ook  v(DF) + v(AD) =  v(AF)   (Pythagoras)     (I-47)
dus  v(AF) =  2 • (v(AM) + v(MC))

v(AC) + v(CF) = v(AF)  (Pythagoras)    (I-47)
dus  v(AC) + v(CF)  = 2 • (v(AM) + v(MC))
CF = BC  dus  v(AC) + v(BC)  = 2 • (v(AM) + v(MC))

In onderstaande figuur zie je nog eens wat hier gebeurt:
links gebruik je de groene driehoek om te laten zien dat het donkergroene vierkant dubbel zo groot is als het lichtgroene.
rechts gebruik je de rode driehoek om te laten zien dat het donkerrode vierkant dubbel zo groot is als het lichtrode
Vervolgens koppel je beide tekeningen aan elkaar door de driehoeken ADC en ACF met gemeenschappelijke zijde AF te gebruiken.
       
       
 
       
Algebraïsch staat hier:   (a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)     met  a =  MC en  b = AM
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)