afgeleide gebroken machten


Andere machten....	© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

rekenen met machten 1
rekenen met machten 2

Eerst maar even de regels voor differentiëren tot nu toe herhalen:

functie	afgeleide	wat gebeurt hier?
xⁿ	n • xⁿ^-1	zet de macht ervoor en maak hem eentje lager
x	1	eigenlijk 1 • x⁰
f + a	f '	constante getallen + en - kun je weglaten
a • f	a • f '	constante getallen × en ÷ schrijf je over
f + g	f ' + g'	losse stukken (+ en -) mag je apart differentiëren
f • g	???	eerst anders gaan schrijven!

Er zijn nog twee soorten machten die we niet hebben bekeken, en dat zijn gebroken en negatieve machten.
Het goede nieuws:

Je hoeft niets nieuws te leren!!!!!!

Wat blijkt namelijk: de regel van f '(x) = n • xⁿ^-1 blijkt ook gewoon te gelden voor negatieve en gebroken machten.
Het enige waar je mee moet uitkijken is die laatste differentieerregel hierboven.
Je moet alleen nog wel met deze machten kunnen rekenen.....
Een paar voorbeelden zal een boel duidelijk maken, hoop ik.

voorbeeld 1.
Geef de afgeleide van y = √x
Bedenk dat √x = x^0,5 dus volgens de basisregel van differentiëren geldt f ' = 0,5 • x ^-0,5 .
Dat kun je nog mooier schrijven als ^0,5/_√_x = ¹/_2√xDeze komt trouwens zo vaak voor dat ik hem als ik jou was uit mijn hoofd zou leren:

voorbeeld 2.
Differentieer de functie f(x) = ²/_x
Bedenk dat ²/_x = 2 • x ^-¹ dus volgens de basisregel van differentiëren geldt f ' = 2 • -1 • x ^-2
Dat kun je nog mooier schrijven als -2 • x ^-2 = ^-2/_x²

voorbeeld 3.
Geef de afgeleide van y = x • √x.
Dat mag niet apart want er wordt vermenigvuldigd. Eerst moeten we x • √x schrijven als x¹ • x^0,5 = x^1,5
Dan is de afgeleide gelijk aan 1,5 • x^0,5
Dat kun je nog mooier schrijven als 1,5√x

voorbeeld 4.
Differentieer de functie f(x) = ¹/_√_x
Dat moet je eerst schrijven als ¹/_x0,5 = x ^-0,5
Dan is de afgeleide gelijk aan -0,5 • x ^-1,5
Dat kun je mooier schrijven als ^-0,5/_x1,5 = ^-0,5/_x_√_x= ^-¹/_2x√_x

voorbeeld 5.Differentieer de functie f(x) = ^2x/_x3Dat moet je eerst schrijven als 2x • x ^-3 = 2x ^-2
Dan is de afgeleide gelijk aan 2 • -2 • x ^-3
Dat kun je mooier schrijven als -4 • x ^-3 = ^-4/_x3

OPGAVEN

Differentieer de volgende functies, en schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

y = 2√x + 4x²

y = x²√x + 4

f(x) = - 4 - ⁵/_x3

y = 6x - ³/_√_x

f(x) = x - 6√x

f(x) = ^4x/_√_x

f(x) = 3x⁵- x - 4x√x

y = ^3√x/_x2

Geef de afgeleide van de volgende functies, en schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

f(x) = x • (√x - 2x)

f(x) = ^{(x + 4)}/_x2

y = 4x³√x - 2x⁴

f(x) = x⁴ • ⁵/_x6

y = ⁴/_6x5

y = (x + √x) • (x² - √x)

y = ^{(6 + x)}/_√_x

In een laboratorium onderzoekt men de invloed van een virus op rode bloedcellen. Op tijdstip t = 8 infecteert men het bloed van een witte muis met een virus dat de bloedcellen aantast. Vanaf dat tijdstip houdt men bij hoeveel procent van de bloedcellen nog gezond zijn. Het aantal gezonde cellen blijkt eerst af te nemen, maar na een poosje, als de muis een antistof heeft ontwikkeld, neemt dat percentage weer toe. Het volgende model blijkt dit experiment aardig te omschrijven:

Daarin is t de tijd in dagen (met t = 8 op het moment van infecteren) en P het percentage gezonde bloedcellen.

Met welke snelheid (% per dag) neemt P direct na infecteren af?

12,5 %/dag

Bereken P'(16). Leg uit wat dit antwoord betekent voor de grafiek van P.

ongeveer nul

De grafiek van P heeft als horizontale asymptoot de lijn P = 100. Leg duidelijk uit hoe je aan de formule van P' kunt zien dat er zo'n horizontale asymptoot zal zijn.

Gemiddeld heeft een mens een reactietijd van ongeveer 0,3 seconden. Maar door het gebruiken van een peppil als bijvoorbeeld XTC zal iemands reactietijd afnemen (hij zal sneller kunnen reageren).
De werkzame stof in XTC is MDMA (3,4-methyleendioxymethamfetamine).
Het blijkt echter dat XTC maar beperkte tijd werkt. Na een poosje zal het reactievermogen juist gaan toenemen (dus zal men steeds langzamer gaan reageren).
Een model dat de reactietijd beschrijft is R(t) = 0,1t√t - 0,22t + 0,3
Daarbij is R de reactietijd (in seconden) en t de tijd na inname van een tablet XTC (in uren).

Als de afgeleide functie R' negatief is, dan zal iemand alerter worden.

Leg duidelijk uit waarom dat zo is.

R neemt af

Bereken algebraïsch hoe lang een tablet XTC iemands reactietijd blijft verkorten.

2.51 uur

Bereken algebraïsch hoe lang geldt dat de reactietijd kleiner is dan de reactietijd zonder XTC.

4.84 uur

De hartslagfrequentie H (aantal hartslagen per minuut) van een levend wezen in rust blijkt af te hangen van zijn lichaamsgewicht (m in kg) volgens de formule:

Bereken H'(80)

-0,2518

Leg duidelijk uit wat dit getal voorstelt.

Ik ben aan het afvallen, en merk dat bij dit gewicht mijn hartslag toeneemt met 0,3 slagen per kilo die ik afval. Wat is mijn gewicht nu? En mijn hartslag?

m = 69,54
H = 83,45

Examenopgave Havo, Wiskunde B, 2018-II

Gegeven zijn de functies h(x) door: h(x) = ^x/_a + ^a/_x
Met a > 0 en domein 〈0,→〉
In onderstaande figuur is voor een aantal waarden van a de grafiek van h getekend.

Voor elke waarde van a heeft de grafiek van h één top. In de figuur is voor enkele waarden van a de top met een stip aangegeven.
De y-coördinaat van elke top in deze figuur is gelijk aan 2.
Het is zelfs zo dat voor elke waarde van a (met a > 0 ) de y-coördinaat van de top van de grafiek van h gelijk is aan 2.

Bewijs dit.