Machtreeksen.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

       
Machtreeksen herken je direct als je ze op straat tegenkomt. Ze zien er namelijk altijd hetzelfde uit.
Om precies te zijn  zó:
       

       
De getallen cn heten de coëfficiënten van de reeks. De reeks hierboven heet een machtreeks rond a.
En toch is er iets aparts mee aan de hand...... Iets wat we niet eerder bij rijen en reeksen zijn tegengekomen......
Zie je het al??
Een machtreeks is een functie van x.
       
Dat betekent bijvoorbeeld dat convergentie of divergentie van de rij kan afhangen van de waarde van x. We zullen ontdekken dat zulke machtreeksen rond a voor x-waarden in de buurt van a convergeren en voor x-waarden te ver van a af divergeren. Om precies te zijn is er een getal R zodat als  | x - a | <  R  de reeks convergeert, en  als  | x - a | >  R de reeks divergeert. Dat getal R heet de convergentiestraal  van de machtreeks.
       
Voorbeeld.
Laten we het kenmerk van d'Alembert gaan testen.
Voor convergentie moet dit kleiner dan 1 zijn, dus  1/2 • | x - 5 | < 1
Daaruit volgt vrij eenvoudig dat 3 < x < 7.
Rest nog de gevallen waarin de limiet precies 1 is te onderzoeken.
Dat divergeert.  Op dezelfde manier geeft x = 7 een reeks  Σn2  en dat divergeert ook.
Conclusie:  deze machtreeks convergeert op interval  〈3, 7〉 en de convergentiestraal is R = 2.
       
Waarom is zo'n convergentiegebied eigenlijk altijd symmetrisch met midden a?
       
Laten we van een functie  f(x) de machtsreeks   Σfn(x)  voor allerlei waarden van x bekijken, en er het criterium van d' Alembert op toepassen om de convergentie te bepalen:
       

  de x-waarden waar dit voor geldt behoren dan tot het convergentiegebied.

  de x-waarden waar dit voor geldt behoren dan niet tot het convergentiegebied.

  In zulke gevallen moeten de x-waarden afzonderlijk nader onderzocht worden en is er geen algemene regel voor convergemtie/divergentie te geven.
       
Voor machtreeksen betekent dat dat we de volgende limiet moeten onderzoeken:

Voor x binnen het convergentiegebied moet deze limiet <1 zijn.

Dan geldt dat   | x - a | • r  < 1   en daaruit volgt weer dat   | x - a |  < 1/r   dus dat is inderdaad een symmetrisch gebied rondom, x = a met convergentiestraal R = 1/r.
       
Een paar handige eigenschappen van machtreeksen.
       

Bij optellen of vermenigvuldigen van twee machtreeksen rond x = a 
krijg je een nieuwe machtreeks rond x = a, 
met als convergentiestraal de kleinste van de oorspronkelijke convergentiestralen.

       

Bij differentiëren of integreren van een machtreeks
blijft de convergentiestraal behouden.

       
         
  OPGAVEN
         
1. Onderzoek het convergentiegebied van de volgende machtreeksen.
         
  a.  
    Gebruik d'Alembert.  

[1/3, 2/3]

         
  b.    
    Gebruik d'Alembert.  

R

         
  c.    
    Gebruik Cauchy.  

R

         
  d.    
    Gebruik d'Alembert  

x = 1

         
  e.    
    Gebruik Cauchy.  

[0 , 4]

         
  f.

    Gebruik Cauchy    
         
  g.

    Gebruik d'Alembert.    
       

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)