Loodrecht snijden.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)

   
Bekijk twee lijnen l1 en l2 die elkaar loodrecht snijden, zoals hiernaast getekend is.

Wat is er te zeggen over de richtingscoëfficiënten?

Om daar iets over te ontdekken nemen we vanaf het snijpunt een stap van 1 opzij, zoals getekend in de figuur hiernaast. Dus AS = SC = 1
Dan horen dan stappen AB en CD omhoog  en omlaag. Die zijn gelijk aan de richtingscoëfficiënten van de lijnen.
Omdat lijn l1 stijgt is AB = a1  en omdat lijn l2 daalt is CD = -a2.
waarbij a1 en a2 de richtingscoëfficiënten van de lijnen zijn.
   
Ik beweer dat de driehoeken ASB en CDS gelijkvormig zijn.
Dat kun je zó zien:  stel dat driehoek ABS een rechte en een rode en een groene hoek heeft.
Dan is rood + groen samen 90º.
Maar de drie hoeken bij S op lijn AC zijn samen 180º, waarbij de middelste gelijk is aan 90º. Dus is die hoek DSC saemn met de groene óók 90º.  Dus moet die hoek wel gelijk zijn aan de rode.
Maar dan is de andere hoek van driehoek CDS weer gelijk aan de groene.

De beide driehoeken hebben dus dezelfde hoeken, dus ze zijn gelijkvormig. 

Conclusie:

twee lijnen loodrecht op elkaar   ⇒   a1 • a2 = -1
   
De afstand van een punt tot een lijn.
   
Dat loodrecht snijden van twee grafieken kun je mooi gebruiken om de (kortste) afstand van een punt P tot een lijn l te berekenen.
Dat gaat met de volgende drie stappen:

-  geef de formule van een lijn m die door P gaat en loodrecht op l staat.
-  bereken het snijpunt S van m en l.
-  bereken de afstand van P tot S met Pythagoras.

Voorbeeld.:  Bereken de afstand van punt P(4, 6)  tot de lijn l:  4x + 3y = 14
l is de lijn  y = 14/3 - 4/3x
Loodsrecht daarop staat een lijn m met richtingscoëfficiënt 3/4  (want  -4/3 • 3/4 = -1)
Die lijn  gaat door P, dus  6 = 3/4 • 4 + b  en dat geeft  b = 3  dus m is de lijn  y = 3/4x + 3
Snijden met l geeft   4x + 3(3/4x + 3) = 14
4x + 21/4x + 9 = 14
61/4x = 5
x = 0,8  en  y =  3,6  dus  S = (0.8, 3.6)
De afstand is PS = √((4 - 0,8)2 + (6 - 3,6)2) = √16 = 4

(In de volgende les zullen we dit nog automatiseren, en daar komen we tot een afstandsformule)
   
  OPGAVEN
   
1. Geef een vergelijking van de volgende lijnen:
       
  a. Door  (2, 6)  loodrecht op de lijn  y = 2x + 4
     

y = -0,5x + 7
  b. Door  (-4, -2)  loodrecht op de lijn  y = -5x + 2  
     

y = 0,2x - 1,2

  c. Door (2,2) loodrecht op de lijn   y = -0,5x + 4  
     

y = 2x - 2

       
2. Lijn l gaat door  (2, 8) en (-3, 6) en lijn m gaat door  (1, 6)  en  (3, 1)
Onderzoek of l en m loodrecht op elkaar staan.
     

JA

   
3. Lijn l gaat door (-4, 6) en (-2, p)  en  lijn m gaat door  (p , 3)  en  (8, 1) 
Bereken p als gegeven is dat  l en m loodrecht op elkaar staan.
     

p = 7

   
4. De stelling van Thales zegt dat, als AB een middellijn van een cirkel is, en punt C ligt ook op die cirkel, dat dan hoek ACB 90º is.
Hieronder zie je een cirkel met straal 5 en middelpunt de oorsprong. Punt C(3,4) ligt op die cirkel.
       
 

       
  Toon aan dat hoek ACB inderdaad een rechte hoek is.
       
5. De raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de lijn van het raakpunt naar het middelpunt.
Een cirkel heeft middelpunt  (2, 4)  en straal 13.
Dan ligt punt (7, 16) ook op die cirkel.
       
  a. Toon dat aan.  
       
  b. Geef een vergelijking van de raaklijn in (7,16) aan die cirkel.  
     

y = -5/12x+ 227/12

       
6. Examenvraagstuk HAVO Wiskunde B, 2017-II
(voorkennis: afgeleide nodig)
       
  De functie f is gegeven door  f (x) = 1/2x3 - 4x . De grafiek van f snijdt de x-as achtereenvolgens in M, de oorsprong O(0, 0) en N. Zie de figuur.
       
 

       
  a. Bereken exact de afstand tussen M en N.  
     

2√8

  De lijnen k en l zijn evenwijdige raaklijnen aan de grafiek van f.
Lijn k raakt de grafiek van f in het punt A(-2, 4) . Zie onderstaande figuur.
       
 

       
  De afstand van O tot k is de helft van de afstand tussen k en l.
       
  b. Bereken algebraïsch de afstand tussen k en l. Geef je eindantwoord in twee decimalen nauwkeurig.
     

7,16

7. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2018-II.
       
  Gegeven is het vierkant ABCD  met hoekpunten A(8, 0) , B(0, 4) , C(-4, -4) en D(4, -8) .
Op zijde AB ligt het punt P(2, 3).

Over lijnstuk DP beweegt (van D naar P) een punt Q.

Er is een positie van Q waarvoor lijnstuk CQ loodrecht staat op  lijnstuk DP. Zie de figuur hiernaast.

Bereken voor deze positie exact de coördinaten van Q.
     

(3.04, -2.72)

8. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2015-I.
       
 

Gegeven zijn de punten O, A en B met coördinaten O(0, 0) , A(42, 0) en B(21, 21√3) . Driehoek OAB is gelijkzijdig.

Op zijde AB ligt punt C zo, dat AC = 2/3 • AB en op zijde BO ligt punt D zo, dat BD = 2/3 • BO. Punt E is het snijpunt van de lijnstukken OC en AD. Zie de figuur.
       
 

  Bewijs dat ∠AEB = 90º.
       
9. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2022-I.
       
  Gegeven zijn voor a > 0 de punten A(0, a), B(1, 0), C(0, 1) en D( 1, 0).
Vierhoek ABCD is een vlieger. In de figuur hiernaast is de vlieger getekend voor a = 2.
De middelloodlijn van een lijnstuk gaat door het midden van dat lijnstuk en staat loodrecht op dat lijnstuk.
Voor a = 2 gaat de middelloodlijn van lijnstuk AB niet door D.

Bereken exact voor welke waarde van a de middelloodlijn van lijnstuk AB wél door D gaat.

     

a =  √3

10. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2022-II.

Gegeven is een vierkant ABCD met zijde 2. Punt M is het midden van lijnstuk AB. Punt P ligt op diagonaal AC en valt niet samen met punt A of punt C. Zie de figuur
       
 

       
  P kan zo worden gekozen dat de lijnstukken DP en MP loodrecht op elkaar staan.

Bereken exact de lengte van lijnstuk AP in deze situatie.
     

√4,5

     

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)