Loodrecht snijdende grafieken.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
 
In deze les hebben we bestudeerd wat je over twee lijnen kunt zeggen als je weet dat ze elkaar loodrecht snijden. De conclusie daar was als volgt:
       

twee lijnen loodrecht op elkaar  ⇔  a1 · a2 = -1

       
Daarin stellen a1  en a2  de hellinggetallen ( richtingscoëfficiënten) van de twee lijnen voor. 
Zo zullen bijvoorbeeld de lijnen y = 0,2x + 4  en   y = -5x + 12  loodrecht op elkaar staan omdat 0,2 · -5 = -1
En de lijnen y = 2x + 3  en  y = -0,1x - 5 staan niet loodrecht op elkaar want  2 · -0,1 = -0,2 en dat is niet -1.
       
Gekromde grafieken.
       
Bij gekromde grafieken ligt de zaak anders, immers die hebben niet één hellinggetal; maar daar is de helling in elk punt van de grafiek weer anders. Toch kunnen sommige gekromde grafieken elkaar best loodrecht snijden, en anderen niet. Kijk maar:
       

       
De hoeken waaronder deze grafieken elkaar snijden zijn (ongeveer) gelijk aan die groene getekende hoeken. Het lijkt erop dat in de middelste figuur de grafieken elkaar loodrecht snijden.  De vraag is:  hoe berekenen we of dat inderdaad zo is, als we de formules f en g van de grafieken weten?

Het antwoord is eenvoudig, als je je maar bedenkt wat de helling van de grafiek in een bepaald punt nou precies voorstelt.
       

De helling van de grafiek van  f  in een bepaald punt is gelijk aan de afgeleide f ' in dat punt.
       
Dat betekent in de bovenstaande drie grafieken dat de hellinggetallen van die groene lijntjes gelijk zijn aan f ' en g' . Maar als die groene lijntjes loodrecht op elkaar moeten staan dan betekent dat dus dat hun hellinggetallen met elkaar vermenigvuldigd -1 op moet leveren.  Dus moet gelden  f ' · g' = -1.
Natuurlijk is dat alleen nog niet voldoende: de grafieken moeten uiteraard elkaar ook snijden in dat punt. Dat geeft als extra voorwaarde dat moet gelden  f = g
       

De grafieken van f en g snijden elkaar loodrecht:

 

 

1.    f '= g'

2.  f ' · g' = -1

 

 
       
Het lijkt nogal op de vorige les over rakende grafieken. Ook hier stel je twee vergelijkingen op, en hoop je dat je uit die twee samen een oplossing kunt vinden.

Voorbeeld.   Voor welke p snijden de grafieken van  y = x2 + p  en  y = p/x elkaar loodrecht?

f = g  geeft    x2 + p = p/x
f '· g' = -1  geeft  2x · -p/x2 = -1  ofwel  2p = x

De laatste invullen in de eerste:  (2p)2  + p  = p/2p  ⇒ 4p2 + p = 0,5  ⇒  4p2 + p - 0,5 = 0  
De ABC formule geeft  p = -0,5  of  p = 0,25
p = -0,5 geeft  x = -1  en  p = 0,25  geeft  x = 0,5   
Dat zijn de volgende twee gevallen, en dat lijkt inderdaad te kloppen.

       

       
   
  OPGAVEN
   
1. Bij de middelste van de drie grafieken hierboven horen de volgende formules:
f(x) = a + b√x  en  g(x) = x2 - 8x + 16.
Bereken a en b als de grafieken elkaar loodrecht snijden in (2, 4).
   
2. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1986.

Met domein R is voor elke p ∈ R gegeven de functie  fp  :  x →  (2x2 + px)e-x
De lijn x = 5 snijdt Kp loodrecht.
Bereken p.
         
3. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1987.

Van R naar R zijn gegeven de functies:
         
 

         
  Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is F de grafiek van f en Gp de grafiek van gp.
F snijdt Gp loodrecht.
Bereken p.
         
4. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1987.

Met domein [-1/2π, 1/2π] is gegeven de functie  f :  x → 3sin3x
Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is F de grafiek van f
De grafiek van de functie  x →  pcosx  waarbij  p ∈ R+  snijdt F loodrecht.
Bereken p.
         
5. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1990.

Voor elke p Î R  is gegeven de functie:
 

         
  Ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel Oxy is Kp de grafiek  van fp.
         
 

         
  In bovenstaande figuur is K1 getekend. A is het randpunt, B is de top, C is het snijpunt met de y-as en D is het snijpunt met de x-as.
         
  a. Bereken de coördinaten van A, B, C en D.
         
  b. Bereken p in het geval dat Kp en K1 elkaar loodrecht snijden.
       

 p = 6

6. Gegeven is de functie  f(x) = 2x3 - 6x2 - 15x + 7
De grafiek van deze functie heeft twee raaklijnen met hellinggetal 3.
         
  a. Bereken de verticale afstand tussen deze twee raaklijnen
       

 64

  b. Bereken de loodrechte afstand tussen deze twee raaklijnen
       

 20,59

7. examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 1999.
         
  Met domein R zijn de functies f en g gegeven door:

 
     
  Hiernaast zijn de grafieken van f  en g getekend.
De lijn x = p snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B.
     
  Bewijs dat de raaklijn in A aan de grafiek van f loodrecht staat op de raaklijn in B aan de grafiek van g.
         
8. P is een punt van de parabool y = x2 
De middelloodlijn van OP snijdt de y-as in punt Q.
Wat gebeurt er met punt Q als P over de parabool naar de oorsprong toe loopt?

         
9. Hiernaast zie je de parabool y = x2  met daarbij een cirkel met straal 2 die de parabool in twee punten raakt en waarvan het middelpunt op de y-as ligt.

Bereken de coördinaten van het middelpunt.

     

 (0, 17/4)

         
10. Examenvraagstuk VWO Wiskunde B, 2016-II.
         
  De functie f wordt gegeven door  f(x) = ln(x2 + 1)
De grafiek van f  wordt 2 naar rechts verschoven. In de figuur hieronder staan de grafiek van f en de verschoven grafiek.
         
 

         
  Onderzoek algebraïsch of deze grafieken elkaar loodrecht snijden.