De cosinusregel.

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)
   
Hiernaast zie je nog een keer de afspraken over naamgeving in een driehoek. Voor de hoekpunten gebruiken we hoofdletters, voor de zijden kleine letters en voor de hoeken Griekse letters.

Met de stelling van Pythagoras, en met sos-cas-toa en met de sinusregel kun je intussen al heel wat driehoeken "berekenen".

Maar er zijn twee gevallen waarbij zelfs die mooie sinusregel niet werkt.
Hier zijn daar twee voorbeelden van:

   

Zie je al dat het niet wil met de sinusregel?
Dat komt natuurlijk omdat je in deze twee gevallen nergens een hoek en de bijbehorende zijde ertegenover weet.

Irritant hé?
   
En toch kunnen we met wat kunst- en vliegwerk toch de andere hoeken en zijden van deze driehoeken berekenen.
Neem de linkerfiguur. Hiernaast is daar een hoogtelijn CD bij ingetekend.

In driehoek ADC geldt dan  cos70º = AD/5  dus  AD = 5 • cos70º
Pythagoras geeft dan:  AD2 + CD2 = AC2
ofwel  (5 • cos70º)2 + CD2 = 52   ⇒  CD2 = 25 - 25 • (cos70º)2

Nu schakelen we over naar driehoek CDB.

DB = AB  AD = 7 - 5 • cos70º  
En dan komt onze goede oude vriend Pythagoras ons weer helpen:  DB2 + CD2 = BC2
Dat geeft met de gegevens hierboven:  (7 - 5 • cos70º)2 + 25 - 25 • (cos70º)2 = BC2
Haakjes wegwerken:   49 - 70cos70º + 25(cos70º)2 + 25 - 25(cos70º)2 = BC2

Hé! Leuk!!
Die stukken met (cos70º)2 vallen tegen elkaar weg!!!    Dan blijft over  BC2 = 49 + 25 - 70 • cos70º
Intoetsen geeft  BC2 ≈ 50,05  dus  BC ≈ 7,07.  Gelukt!
   
Die hele berekening kun je natuurlijk ook met letters doen. Vervang overal de 5 door b en de 7 door c  en de 70º door α. Als je de berekening dan nog een keer opschrijft dan geeft dat de volgende prachtige formule:
 

a2 = b2 + c2 - 2bc • cosα
 

Deze formule heet de cosinusregel.  
   
1. Leid zelf de cosinusregel volgens het voorbeeld hierboven af.
   
De cosinusregel ziet er misschien wat ingewikkeld uit, maar valt erg mee als je je maar bedenkt dat die twee letters b en c aan de rechterkant in willekeurige volgorde staan. Het enige waar je aan moet denken is, dat de hoek α tegenover de zijde a moet liggen. Dus: de zijde aan de linkerkant ligt tegenover de hoek.
Bij berekeningen in driehoeken zou ik daarom eerst kijken welke hoek ik wil gebruiken of berekenen en die dan α noemen. Dan is de zijde daartegenover automatisch zijde a en zijn de andere twee b en c.


Waarschuwing.
Denk er goed om dat deze formule algebraïsch gezien eigenlijk bestaat uit 4 stukken.

Als je bijvoorbeeld van de driehoek hiernaast de hoek met het vraagteken wilt berekenen, dan begin je met de zijde ertegenover. Dat geeft:  62 = 42 + 72 - 2 • 4 • 7 • cosα
Dus:  36 = 16 + 49 - 56 • cosα.
Maar nu kun je niet eerst 16 + 49 - 56 uitrekenen!!!!
Die 56 zit namelijk vast aan de cosα.
De goede manier is om eerst de stukken 16 en 49 naar de andere kant te brengen en daarna te delen door die -56.
zo dus:
36 = 16 + 49 - 56 • cosα
⇒  36 - 16 - 49 = -56 • cosα
⇒ -29 = -56 • cosα
⇒ -29/-56 = cosα
⇒ α = cos-1(-29/-56)  ≈ 58,8º
   
Geruststelling:

Je hoeft er bij de cosinusregel niet op te letten of de hoeken stomp of scherp zijn (zoals bij de sinusregel wel nodig was)
De functie cos-1x  geeft een hoek tussen 0º en 180º  dus die doet de stompe hoeken vanzelf goed.
   
OPGAVEN
   
2. Bereken de vraagtekens in onderstaande driehoeken. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
       
 

     

11.1;   110.9º;   62.7º;   8,6
       
3.

     

148,6 en 111,5 en 6,7
       
4. Driehoek ABC heeft AB = 9 en BC = 7 en AC = 3
CD is de hoogtelijn vanuit C.
Bereken de lengte van CD in twee decimalen.
     

1,95
       
5. Stel dat de twee wijzers van een klok lengtes 4 cm en 6 cm hebben.
Hoe ver zijn de uiteinden dan van elkaar als het half vier is?
     

6,29 cm
       
6. Hiernaast zie je een schematisch model van een autokrik.
A en C zijn scharnieren, B is een zogenaamd "glijstuk" dat heen en weer kan schuiven.
De krik kan helemaal ingeklapt worden zodat punt C op lijn AB komt te liggen.
     
  a. Hoe hoog komt punt D maximaal?
   

78 cm.
  b. Vanuit ingeklapte toestand schuift punt B 20 cm naar links. Hoe ver gaat steun D dan omhoog?
   

48,2 cm.
 
       
7. Een boer wil een stuk weiland gaan omheinen. Van A naar B loopt een sloot van 120 meter lang. Van C naar D een sloot van 30 meter.
Het hek dat de boer wil maken moet daarom van A via C naar B lopen.

Als AC gelijk is aan 45 meter, hoe lang is BC dan?
   

79,7 meter
       
8. Voor de kust ligt een eiland met daarop twee kerktorens: één bij P en één bij Q. Iemand wil graag de afstand tussen beide torens bepalen.

Zij doet dat door vanaf twee punten A en B aan de oever de hoeken die hiernaast staan aangegeven te meten.
Verder meet zij de afstand AB = 600 meter.

Bereken de afstand tussen beide torens op het eiland.

 

   

291,12 m
     
9. Een zeshoek heeft zijden met lengtes  p en q.
Om-en-om.
Als R de straal is van de omgeschreven cirkel van deze zeshoek, dan geldt:

R2 = 1/3(p2 + pq + q2)

Toon dat aan.
Gebruik daarbij het feit dat driehoek FDB in de figuur hiernaast gelijkzijdig is.

     
10. Hiernaast zie je een afbeelding van een muurparasol "Tenerife" van de firma Garden Impressions  (€250,-).
Helemaal onderaan in punt E zit een molentje waarmee je een staalkabeltje (dat door stang AE loopt) kunt opwinden waardoor punt A naar beneden wordt getrokken langs stang BE

Als je het molentje weer "afwindt" zal door het gewicht van de parasol punt A weer omhoog gaan.

C is een vast punt waar BC scharnierend aan AD vastzit.
  De afmetingen zijn  BE = 120,  BC = 30,  CD = 50,  AC = 40.  Alles in cm.
Stel dat AB = x
Dan geldt voor de verticale afstand (h) tussen D en E:   h = 120 + 1/8x + 787,5/x
     
 
a. Toon dat aan.
   
b. Laat zien dat vanaf ingeklapte toestand (x = 70) punt D alleen maar stijgt als x afneemt (dus als A omhoog gaat).
     
 
   

© h.hofstede (h.hofstede@hogeland.nl)